Clausen-Funktion

Graph der Clausen-Funktion ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\theta )}$ (rot) und ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{4}(\theta )}$ (grün)

In der Mathematik ist die Clausen-Funktion durch das folgende Integral definiert:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log |2\sin(t/2)|\,\mathrm {d} t.}$

Allgemeine Definition

Allgemeiner definiert man für komplexe ${\displaystyle s}$ mit ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{s}(\theta )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n\theta )}{n^{s}}}=\sin(\theta )+{\frac {\sin(2\theta )}{2^{s}}}+{\frac {\sin(3\theta )}{3^{s}}}+{\frac {\sin(4\theta )}{4^{s}}}+\cdots }$

Diese Definition kann auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortgesetzt werden.

Beziehung zum Polylogarithmus

Die Clausen-Funktion steht in Beziehung zum Polylogarithmus:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{s}(\theta )=\operatorname {Im} (\operatorname {Li} _{s}(e^{i\theta }))}$.

Kummers Beziehung

Ernst Kummer und Rogers führen folgende für ${\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi }$ gültige Beziehung an:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(e^{i\theta })=\zeta (2)-\theta (2\pi -\theta )/4+i\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}$

Beziehung zu den Dirichlet L-Funktionen

Für rationale Werte von ${\displaystyle \theta /\pi }$ kann die Funktion ${\displaystyle \sin(n\theta )}$ als periodischer Orbit eines Elementes einer zyklischen Gruppe aufgefasst werden. Folglich kann ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{s}(\theta )}$ als einfache Summe aufgefasst werden, welche die hurwitzsche Zeta-Funktion beinhaltet. Das erlaubt es, Beziehungen zwischen bestimmten dirichletschen L-Funktionen einfach zu berechnen.

Die Clausen-Function als eine Regularisierungs-Methode

Die Clausen-Funktion kann auch als Methode betrachtet werden, um folgenden divergenten Fourier-Reihen eine Bedeutung zu geben:

${\displaystyle \sin(\theta )+2\sin(2\theta )+3\sin(3\theta )+\dots }$

was mit ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{-1}(\theta )}$ bezeichnet werden kann. Durch Integration erhält man:

${\displaystyle \cos(\theta )+\cos(2\theta )+\cos(3\theta )+\dots =-\int d{\theta }\operatorname {Cl} _{-1}(\theta )}$

Dieses Ergebnis kann durch analytische Fortsetzung für alle negativen ${\displaystyle s}$ verallgemeinert werden.

Reihenentwicklung

Eine Reihenentwicklung für die Clausen-Funktion (für ${\displaystyle |\theta |<2\pi }$) ist

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=1-\log |\theta |-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}{\text{.}}}$

${\displaystyle \zeta (s)}$ ist dabei die riemannsche Zeta-Funktion. Eine schneller konvergierende Reihe ist

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=3-\log \left[|\theta |\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\right]-{\frac {2\pi }{\theta }}\log \left({\frac {2\pi +\theta }{2\pi -\theta }}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}{\text{.}}}$

Die Konvergenz wird dadurch sichergestellt, dass ${\displaystyle \zeta (n)-1}$ für große ${\displaystyle n}$ schnell gegen 0 konvergiert.

Spezielle Werte

Einige spezielle Werte sind:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=G}$,

wobei G die catalansche Konstante ist.

Allgemeiner:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{s}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=\beta (s)}$

wobei ${\displaystyle \beta (s)}$ die dirichletsche Beta-Funktion ist.

Literatur

• Leonard Lewin (Hrsg.): Structural Properties of Polylogarithms. American Mathematical Society, Providence (RI) 1991, ISBN 0-8218-4532-2.
• Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall: Computational Strategies for the Riemann Zeta Function. In: J. Comp. App. Math. Band 121, 2000, S. 11 (maths.ex.ac.uk [PDF; 526 kB]).