Chow-Gruppe

In der algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Chow-Gruppen eine wichtige Invariante von Varietäten.

Definition

Sei eine glatte, irreduzible, projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.

Die Gruppe der algebraischen Zykel der Kodimension i

ist definiert als die freie abelsche Gruppe erzeugt von den irreduziblen (nicht notwendig glatten) Untervarietäten der Kodimension . Ein Element ist also eine endliche Summe

mit und irreduzible Untervarietät der Kodimension .

Zwei Untervarietäten

heißen rational äquivalent, wenn es eine Untervarietät

, welche flach über ist,

sowie mit

gibt. Rationale Äquivalenz definiert eine Äquivalenzrelation auf der Zykelgruppe .

Die Chow-Gruppe ist definiert als Quotient der Zykel-Gruppe modulo rationaler Äquivalenz:

.

Chow-Ring

Das Schnittprodukt von Untervarietäten (anschaulich: modulo rationaler Äquivalenz bringt man Untervarietäten in allgemeine Lage und nimmt dann ihren Durchschnitt) definiert eine Abbildung

für alle . Der Chow-Ring ist die direkte Summe der Chow-Gruppen

mit der durch das Schnittprodukt definierten Multiplikation.

Mittels des Schnittprodukts definiert man das globale Schnittprodukt durch

für die diagonale Einbettung .

Beispiele

  • Für jede glatte, irreduzible Varietät ist
.
.
  • Für den -dimensionalen affinen Raum gilt
für ,
.
  • Für den -dimensionalen projektiven Raum gilt
für
für

Beziehung zur algebraischen K-Theorie

Sei der Funktionenkörper der Varietät und die Milnorsche K-Theorie dieses Körpers. Dann ist

wobei die Menge aller Punkte von der Dimension ist.

Literatur

  • William Fulton: Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics 2, Berlin, New York: Springer-Verlag 1998, ISBN 978-0-387-98549-7, MR 1644323
  • Wei-Liang Chow: On Equivalence Classes of Cycles in an Algebraic Variety, Annals of Mathematics, Band 64, 1956, S. 450–479, ISSN 0003-486X