Bruhat-Tits-Gebäude

Bruhat-Tits-Baum für ${\displaystyle SL(2,\mathbb {Q} _{2})}$.

In der Mathematik sind Bruhat-Tits-Gebäude eine nicht-archimedische Variante symmetrischer Räume. Sie sind nach François Bruhat und Jacques Tits benannt.

Bruhat-Tits-Gebäude für SL(n,K)

Sei ${\displaystyle K}$ ein Körper und ${\displaystyle v}$ eine diskrete Bewertung. Der Bewertungsring ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$ ist definiert durch ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}=\left\{x\in K\colon v(x)\geq 0\right\}}$.

Das Bruhat-Tits-Gebäude für die spezielle lineare Gruppe ${\displaystyle G=SL(n,K)}$ ist ein (n-1)-dimensionaler Simplizialkomplex.

Ecken: Seine Ecken (0-Simplizes) sind die Homothetieklassen von Gittern in ${\displaystyle K^{n}}$. (Ein Gitter ist ein ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$-Modul vom Rang ${\displaystyle n}$, zwei Gitter ${\displaystyle \Lambda ,\Lambda ^{\prime }}$ gehören zur selben Homothetieklasse wenn ${\displaystyle \Lambda ^{\prime }=\alpha \Lambda }$ für ein ${\displaystyle \alpha \in K}$.)

Simplizes: ${\displaystyle m+1}$ Ecken ${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m}}$ bilden genau dann einen ${\displaystyle m}$-dimensionalen Simplex, wenn sie durch Gitter ${\displaystyle \Lambda _{0},\ldots ,\Lambda _{m}}$ mit

${\displaystyle \omega \Lambda _{m}\subset \Lambda _{0}\subset \Lambda _{1}\subset \ldots \subset \Lambda _{m}}$

mit einem irreduziblen Element ${\displaystyle \omega \in {\mathcal {O}}_{v}}$ repräsentiert werden.

Insbesondere ist das Bruhat-Tits-Gebäude von ${\displaystyle SL(2,K)}$ ein unendlicher Baum, dessen Knoten die Valenz ${\displaystyle char(k)+1}$ haben, wobei ${\displaystyle k}$ der zu ${\displaystyle K}$ assoziierte Restklassenkörper ist. Man spricht in diesem Fall von einem Bruhat-Tits-Baum.

Allgemein kann ein Bruhat-Tits-Gebäude für jede reduktive Gruppe ${\displaystyle G}$ über einem lokalen Körper ${\displaystyle K}$ definiert werden.^[1]

Eigenschaften

Das Bruhat-Tits-Gebäude ist ein euklidisches Gebäude und insbesondere ein CAT(0)-Raum. Der Link jeder Ecke ist ein sphärisches Tits-Gebäude und insbesondere ein CAT(1)-Raum.

Die Gruppe ${\displaystyle G}$ wirkt eigentlich diskontinuierlich durch simpliziale Automorphismen auf ihrem Bruhat-Tits-Gebäude.

Das Bruhat-Tits-Gebäude ist kontrahierbar, endlich-dimensional und lokal endlich, letzteres heißt, dass jeder Simplex nur zu endlich vielen Simplizes adjazent ist.

Literatur

• Ian G. MacDonald: Spherical functions on a group of p-adic type (= Publications of the Ramanujan Institute. 2, ISSN 0304-9965). University of Madras – Ramanujan Institute, Madras 1971.
• Jean-Pierre Serre: Trees (= Springer Monographs in Mathematics.). Translated from the French original by John Stillwell. Corrected 2nd printing of the 1980 English translation. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44237-5.

Weblinks

• Remy-Thuillier-Werner: Bruhat-Tits buildings and analytic geometry
• Witte Morris: Introduction to Bruhat-Tits buildings
• Rabinoff: The Bruhat-Tits building of a p-adic Chevalley group and an application to representation theory

Einzelnachweise

1. ↑ Abschnitt 3.2 in Remy-Thuillier-Werner, op. cit.