Bevan-Punkt

Der Bevan-Punkt gehört zu den ausgezeichneten Punkten eines Dreiecks. Er ist definiert als Mittelpunkt des Kreises, der durch die drei Ankreismittelpunkte des gegebenen Dreiecks geht. Die Bezeichnung Bevan-Punkt bezieht sich auf ein Problem, das der englische Ingenieur Benjamin Bevan 1804 in Leybourn's Mathematical Repository (S. 18) stellte.^[1] Das Problem wurde noch im gleichen Jahr^[2] (nach anderen Angaben erst 1806^[3]) von John Butterworth gelöst.

• Die Verbindungsstrecken des Bevan-Punktes mit den Ankreismittelpunkten sind senkrecht zu den Seiten des gegebenen Dreiecks.^[4]
• Die Verbindungsstrecke zwischen dem Bevan-Punkt und dem Inkreismittelpunkt des gegebenen Dreiecks wird durch den Umkreismittelpunkt des Dreiecks halbiert.^[5]
• Der Bevan-Punkt ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke von Nagel-Punkt und Longchamps-Punkt.^[5]
• Die Verbindungsstrecke zwischen dem Bevan-Punkt und dem Höhenschnittpunkt wird durch den Spieker-Punkt halbiert.^[5]
• Bevan-Punkt und Inkreismittelpunkt haben den gleichen Abstand d von der eulerschen Geraden, hierbei gilt ${\displaystyle d={\sqrt {R^{2}-{\tfrac {abc}{a+b+c}}}}.}$^[3]

Die trilinearen Koordinaten des Bevan-Punkts (${\displaystyle B_{40}}$) sind

${\displaystyle (\cos \beta +\cos \gamma -\cos \alpha -1):(\cos \gamma +\cos \alpha -\cos \beta -1):(\cos \alpha +\cos \beta -\cos \gamma -1).}$^[1]

Dabei sind ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ die Größen der Innenwinkel des Dreiecks.

• Eric W. Weisstein. „Bevan Point.“ From MathWorld--A Wolfram Web Resource
• Alexander Bogomolny. „Bevan's Point and Theorem.“

1. ↑ ^{a b} Clark Kimberling: Enyclopedia of Triangle Centers, X(40). Abgerufen am 29. Januar 2025 (englisch). 
2. ↑ Alexander Bogomolny: Bevan's Point and Theorem. Abgerufen am 29. Januar 2025 (englisch). 
3. ↑ ^{a b} Eric W. Weisstein: Bevan Point. In: MathWorld (englisch).
4. ↑ Wolfgang Grundmann: Dreieckgeometrie. AVM, München 2010, ISBN 978-3-89975-808-5, S. 85. 
5. ↑ ^{a b c} Wolfgang Grundmann: Dreieckgeometrie. AVM, München 2010, ISBN 978-3-89975-808-5, S. 84.