Auswahlaxiom

Das Auswahlaxiom ist ein Axiom der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Es wurde erstmals von Ernst Zermelo 1904 formuliert. Das Auswahlaxiom besagt, dass zu jeder Menge von nichtleeren Mengen eine Auswahlfunktion existiert, also eine Funktion, die jeder dieser nichtleeren Mengen ein Element derselben zuordnet und somit „auswählt“. Für endliche Mengen kann man das auch ohne dieses Axiom folgern, daher ist das Auswahlaxiom nur für unendliche Mengen interessant.

Das Auswahlaxiom

Sei ${\displaystyle A}$ eine Menge von nichtleeren Mengen. Dann heißt ${\displaystyle F}$ eine Auswahlfunktion für ${\displaystyle A}$, falls ${\displaystyle F}$ jedem Element ${\displaystyle X}$ von ${\displaystyle A}$ ein Element von ${\displaystyle X}$ zuordnet, das heißt, ${\displaystyle F}$ hat den Definitionsbereich ${\displaystyle A}$ und es gilt

${\displaystyle \forall X\in A\colon F(X)\in X{\text{.}}}$

${\displaystyle F}$ wählt also aus jeder Menge ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle A}$ genau ein Element aus.

Das Auswahlaxiom lautet dann: Für jede Menge nichtleerer Mengen gibt es eine Auswahlfunktion.

Beispiel: Sei ${\displaystyle A=\{\{0,2\},\{1,2,5,7\},\{4\}\}}$. Die auf ${\displaystyle A}$ durch

${\displaystyle F(\{0,2\})=2,\quad F(\{1,2,5,7\})=2,\quad F(\{4\})=4}$

definierte Funktion ${\displaystyle F}$ ist eine Auswahlfunktion für ${\displaystyle A}$.

Alternative Formulierungen

• Die Potenzmenge einer beliebigen Menge ohne die leere Menge hat eine Auswahlfunktion (Zermelo 1904).
• Sei ${\displaystyle A}$ eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen. Dann gibt es eine Menge ${\displaystyle C}$, die mit jedem ${\displaystyle X\in A}$ genau ein gemeinsames Element hat (Zermelo 1907, ZF).
• Sei ${\displaystyle I}$ eine beliebige Indexmenge und ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ eine Familie von nichtleeren Mengen ${\displaystyle A_{i}}$, dann existiert eine Funktion ${\displaystyle F}$ mit Definitionsbereich ${\displaystyle I}$, die jedem ${\displaystyle i\in I}$ ein Element von ${\displaystyle A_{i}}$ zuordnet: ${\displaystyle F(i)\in A_{i}}$.

Bemerkungen

Das Auswahlaxiom postuliert die Existenz einer Auswahlfunktion. Man hat aber trotzdem kein Verfahren, wie man eine solche konstruieren könnte. Man spricht in diesem Fall von einer schwachen Existenzaussage.

Für folgende Fälle existiert eine Auswahlfunktion auch ohne das Auswahlaxiom:

• Für eine endliche Menge ${\displaystyle A=\{A_{1},\ldots ,A_{n}\}}$ von nichtleeren Mengen ist es trivial, eine Auswahlfunktion anzugeben: Man wählt von jeder Menge irgendein bestimmtes Element aus, was problemlos möglich ist. Man braucht das Auswahlaxiom hierfür nicht. Ein formaler Beweis würde Induktion über die Größe der endlichen Menge verwenden.
• Für Mengen von nichtleeren Teilmengen der natürlichen Zahlen ist es ebenfalls problemlos möglich: Man wählt von jeder Teilmenge das kleinste Element aus. Ähnlich kann man für eine Menge von abgeschlossenen Teilmengen der reellen Zahlen eine explizite Auswahlfunktion (ohne Verwendung des Auswahlaxioms) angeben, indem man etwa aus jeder Menge das (wenn möglich positive) Element mit kleinstem Absolutbetrag wählt.
• Selbst für Mengen von beschränkten Intervallen reeller Zahlen ist eine Auswahlfunktion definierbar: Man wählt von jedem Intervall den Mittelpunkt aus.

Für welche Fälle das Auswahlaxiom relevant ist, sei an den folgenden Beispielen verdeutlicht:

• Man kann schon für eine allgemeine abzählbare Menge von zweielementigen Mengen in ZF (nicht ZFC, d. h. ohne das Auswahlaxiom) nicht die Existenz einer Auswahlfunktion beweisen.
• Dasselbe gilt etwa für die Existenz einer Auswahlfunktion für die Menge aller nichtleeren Teilmengen der reellen Zahlen.

Es existieren allerdings Abschwächungen des Auswahlaxioms, die dieses nicht implizieren, aber für Fälle wie die beiden Beispiele die Existenz zeigen, beispielsweise für den ersten Fall das abzählbare Auswahlaxiom (CC, für countable Choice, auch bezeichnet mit AC_ω oder ACN), welches besagt, dass eine Auswahlfunktion existiert, wenn die Mengenfamilie abzählbar ist, oder auch das Axiom der abhängigen Auswahl (DC, für dependent choice).

Kurt Gödel zeigte 1938, dass das Auswahlaxiom im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre keinen Widerspruch ergibt, wenn man die Widerspruchsfreiheit aller übrigen Axiome annimmt.^[1] 1963 aber zeigte Paul Cohen, dass auch die Negation des Auswahlaxioms nicht zu einem Widerspruch führt.^[2] Beide Annahmen sind also vom formalistischen Standpunkt aus akzeptabel. Das Auswahlaxiom folgt, wie Wacław Sierpiński 1947 bewies, aus der verallgemeinerten Kontinuumshypothese.^[3]

Das Auswahlaxiom ist von der Mehrheit der Mathematiker akzeptiert. In vielen Zweigen der Mathematik, darunter auch neueren wie der Nichtstandardanalysis, führt es zu besonders ästhetischen Ergebnissen. Die Konstruktivistische Mathematik ist jedoch ein Mathematikzweig, der auf das Auswahlaxiom bewusst verzichtet. Darüber hinaus gibt es weitere Mathematiker, darunter viele der theoretischen Physik nahestehend, die das Auswahlaxiom ebenfalls nicht verwenden, insbesondere wegen kontraintuitiver Konsequenzen wie des Banach-Tarski-Paradoxons. Dies führt zur Fragestellung, ob sich Sätze, für deren Beweis üblicherweise das Auswahlaxiom verwendet wird, wie der Satz von Hahn-Banach, so abschwächen lassen, dass sie ohne Auswahlaxiom bewiesen werden können, aber dennoch alle wichtigen Anwendungen abdecken.

Zum Auswahlaxiom äquivalente Sätze

Setzt man die ZF-Axiome voraus, dann gibt es eine Vielzahl an wichtigen Sätzen, die zum Auswahlaxiom äquivalent sind. Die wichtigsten darunter sind das Lemma von Zorn und der Wohlordnungssatz. Zermelo führte das Auswahlaxiom ein, um den Beweis des Wohlordnungssatzes zu formalisieren. Die Namen Lemma und Satz rühren daher, dass diese Formulierungen nicht so unmittelbar einsichtig erscheinen wie das Auswahlaxiom selbst.

• Mengenlehre
  • Wohlordnungssatz: Jede Menge kann wohlgeordnet werden.
  • Wenn ${\displaystyle \,A}$ eine unendliche Menge ist, dann haben ${\displaystyle \,A}$ und ${\displaystyle A\times A}$ die gleiche Kardinalität.
  • Trichotomie: Zwei Mengen haben entweder gleiche Kardinalität oder eine der beiden Mengen hat eine kleinere Kardinalität als die andere. Die Äquivalenz wurde von Friedrich Hartogs 1915 bewiesen.^[4]
  • Das kartesische Produkt einer Familie von nichtleeren Mengen ist nichtleer.
  • Satz von König: Vereinfacht formuliert ist die Summe einer Folge von Kardinalzahlen echt kleiner als das Produkt einer Folge von größeren Kardinalzahlen.
  • Jede surjektive Funktion hat ein Rechtsinverses.
  • Lemma von Teichmüller-Tukey: Eine nichtleere Menge von endlichem Charakter hat bezüglich der Mengeninklusion ein maximales Element.
• Ordnungstheorie
  • Lemma von Zorn: Jede nichtleere halbgeordnete Menge, in der jede Kette (d. h. jede total geordnete Teilmenge) eine obere Schranke hat, enthält mindestens ein maximales Element.
  • Hausdorffs Maximalkettensatz: In einer geordneten Menge kann jede Kette zu einer maximalen Kette erweitert werden.
  • Hausdorffs Maximalkettensatz (abgeschwächt): In einer geordneten Menge existiert mindestens eine maximale Kette.
• Algebra
  • Jedes Erzeugendensystem eines Vektorraums ${\displaystyle V}$ enthält eine Basis von ${\displaystyle V}$.
  • Jeder Vektorraum hat eine Basis.^[5]
  • Jeder Ring mit Einselement, der nicht der Nullring ist, hat ein maximales Ideal.
• Graphentheorie
  • Jeder (unendliche) ungerichtete, zusammenhängende Graph hat einen Spannbaum.
• Topologie
  • Satz von Tychonoff: Das Produkt kompakter Räume ist selbst kompakt. (Allerdings ist diese Aussage nur dann äquivalent zum Auswahlaxiom, wenn man für Kompaktheit nicht die Hausdorffeigenschaft fordert.)
  • In der Produkttopologie: Der Abschluss eines Produktes von Teilmengen ist gleich dem Produkt der Abschlüsse der Teilmengen.
  • Das Produkt von vollständigen uniformen Räumen ist vollständig.

Literatur

• Ernst Zermelo: Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann. In: Mathematische Annalen 59, 1904, S. 514–516.
• Horst Herrlich: Axiom of Choice. Springer Lecture Notes in Mathematics 1876, Springer Verlag, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30989-6.
• Paul Howard, Jean E. Rubin: Consequences of the Axiom of Choice. American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0977-6.
• Thomas Jech: The Axiom of Choice. North Holland, 1973, ISBN 0-7204-2275-2. 
• Per Martin-Löf: 100 years of Zermelo’s axiom of choice: what was the problem with it? (PDF-Datei; 257 kB)
• Ernst Zermelo: Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung. In: Mathematische Annalen 65, 1908, S. 107–128.

Weblinks

• Auf dem Werk von Howard und Rubin basierende Übersicht über Folgerungen des Auswahlaxioms und ihre Beziehungen (zuletzt 2002 aktualisiert, interaktive Online-Version).

Einzelnachweise

1. ↑ Kurt Gödel: The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis. In: Proceedings of the U.S. National Academy of Sciences. Band 24, 1938, S. 556–557 (online [PDF]). 
2. ↑ Paul Cohen: Set Theory and the Continuum Hypothesis. Benjamin, New York 1963. 
3. ↑ siehe Leonard Gillman: Two classical surprises concerning the axiom of choice and the continuum hypothesis. American Mathematical Monthly, Band 109, 2002, S. 544, pdf
4. ↑ Siehe Gillman, loc. cit.
5. ↑ Andreas Blass, Axiomatic set theory. In: Contemporary Mathematics. Band 31, 1984 Kapitel: Existence of bases implies the axiom of choice. S. 31–33, online (englisch) pdf