Ausgezeichnete Punkte im Dreieck
In der Geometrie versteht man unter den ausgezeichneten Punkten (auch: merkwürdigen Punkten oder Zentren) eines Dreiecks in erster Linie die folgenden vier Punkte:
- den Höhenschnittpunkt H (Schnittpunkt der Höhen),
- den Umkreismittelpunkt U (Schnittpunkt der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen)),
- den Schwerpunkt S (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden (Schwerlinien)) und
- den Inkreismittelpunkt I (Schnittpunkt der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetralen)).
Die drei erstgenannten Schnittpunkte (H, U und S) liegen immer auf einer Geraden, der eulerschen Geraden. Auf ihr, und zwar in der Mitte zwischen H und U, liegt auch der Mittelpunkt des Feuerbachkreises.
Weitere Punkte nach der Encyclopedia of Triangle Centers
Neben den vier „klassischen“ ausgezeichneten Punkten eines Dreiecks (Schwerpunkt, Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt, Höhenschnittpunkt), die schon in der Antike bekannt waren, wurden in den letzten Jahrhunderten viele weitere Punkte gefunden und untersucht. Clark Kimberling’s Encyclopedia of Triangle Centers (siehe Weblink) führt mehr als 47.000 (Stand 7. März 2022) besondere Punkte und ihre bislang bekannten Eigenschaften auf. Die in diesem Verzeichnis eingeführte Standardbezeichnung, bestehend aus dem Buchstaben X und einem Index, wird heute in vielen Abhandlungen zur Dreiecksgeometrie verwendet. Die folgende Tabelle nennt einige wichtige Beispiele:
| Ausgezeichnete Punkte im Dreieck | |
|---|---|
| Inkreismittelpunkt | |
| Schwerpunkt | |
| Umkreismittelpunkt | |
| Höhenschnittpunkt (Orthozentrum) | |
| Mittelpunkt des Feuerbach-Kreises | |
| Lemoine-Punkt (Symmedianenpunkt, Grebe-Punkt) | |
| Gergonne-Punkt | |
| Nagel-Punkt | |
| Mittenpunkt | |
| Spieker-Punkt (Spieker-Zentrum) | |
| Feuerbachpunkt (Berührungspunkt von Inkreis und Feuerbachkreis) | |
| 1. Fermat-Punkt (u. a. kürzester Abstand zu allen Eckpunkten) | |
| 2. Fermat-Punkt | |
| 1. isodynamischer Punkt | |
| 2. isodynamischer Punkt | |
| 1. Napoleon-Punkt | |
| 2. Napoleon-Punkt | |
| Clawson-Punkt | |
| Longchamps-Punkt | |
| Schiffler-Punkt | |
| Exeter-Punkt | |
| Bevan-Punkt | |
| Kosnita-Punkt | |
| Steiner-Punkt | |
| Isoperimetrischer Punkt | |
| Punkt des gleichen Umwegs | |
| 1. Vecten-Punkt | |
| 2. Vecten-Punkt | |
Verwandte Themen
Neben Einzelpunkten lassen sich einem Dreieck auch verschiedene Tupel von Punkten zuordnen:
Spezielle Kreise sind:
Weitere spezielle Kegelschnitte sind:
Literatur
- Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie. 2. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0576-8.
- Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3.
Weblinks
- Arndt Brünner: Interaktive Darstellung aller oben genannten Punkten und Objekten am Dreieck, arndt-bruenner.de
- Clark Kimberling’s Encyclopedia of Triangle Centers faculty.evansville.edu
- Florian Modler: Merkwürdige Punkte und Linien am Dreieck. In: matheplanet.com.
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Autor/Urheber: Oldracoon 13:16, 11 October 2012 (UTC), Lizenz: CC BY-SA 3.0
Allgemeines Dreieck mit Inkreis und Inkreismittelpunkt I, Umkreis und Umkreismittelpunkt U, Schwerpunkt S, Höhenschnittpunkt H und der eulerschen Geraden.
Autor/Urheber: Oldracoon 13:04, 11 October 2012 (UTC), Lizenz: CC BY 3.0
Allgemeines Dreieck mit Umkreismittelpunkt U (blau), Schwerpunkt S (grün), Höhenschnittpunkt H (rot) und den dafür nötigen Geraden.