Adaptierter stochastischer Prozess

Ein adaptierter stochastischer Prozess ist ein spezieller stochastischer Prozess in der Stochastik, der gewisse Messbarkeitskriterien erfüllt. Anschaulich kann ein adaptierter Prozess sich an den gesamten bisherigen Verlauf des Prozesses erinnern, verfügt also zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ über alle bis zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ aufgetretenen Informationen. Die Verfügbarkeit von Informationen wird hierbei über eine Filtrierung definiert.

Adaptierte stochastische Prozesse sind zentral für die Theorie der Martingale. Weitere stochastische Prozesse, die über Messbarkeitskriterien definiert werden, sind die eng verwandten vorhersagbaren Prozesse sowie die progressiv messbaren Prozesse und die produktmessbaren Prozessen, welche bei der Definition des Ito-Integrals auftreten.

Definition

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ sowie ein stochastischer Prozess ${\displaystyle (X_{t})_{t\in T}}$ mit Indexmenge ${\displaystyle T}$ und Werten in ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$. Sei ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$ eine Filtration in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Dann heißt ein stochastischer Prozess ${\displaystyle \mathbb {F} }$-adaptiert oder adaptiert an ${\displaystyle \mathbb {F} }$, wenn für jedes ${\displaystyle t\in T}$ gilt:

${\displaystyle X_{t}}$ ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ - ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$-messbar.

Die Indexmenge ${\displaystyle T}$ kann dabei eine beliebige totalgeordnete Menge sein. In den meisten Fällen werden reellwertige stochastische Prozesse betrachtet, dann ist ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$.

Beispiele

Wählt man als Filtrierung die Filtrierung der vollständigen Information, also

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}:={\mathcal {A}}}$ für alle ${\displaystyle t\in T}$,

so ist jeder stochastische Prozess bezüglich dieser Filtrierung adaptiert. Die Messbarkeit bezüglich ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$- ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ folgt hier bereits daraus, das jedes ${\displaystyle X_{t}}$ eine Zufallsvariable ist. Die Messbarkeit ist dann aber bereits in der Definition der Zufallsvariable enthalten.

Definiert man die Filtrierung als

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}:=\{\Omega ,\emptyset \}}$ für ${\displaystyle t\in T}$,

also als σ-Algebra die triviale σ-Algebra, so ist nur ein stochastischer Prozess adaptiert, der aus konstanten Zufallsvariablen besteht. Denn nur konstante Funktionen sind ${\displaystyle \{\Omega ,\emptyset \}}$ - ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$-messbar. Unterschiedliche Zufallsvariablen können allerdings auch unterschiedliche Werte annehmen, da dies nichts an der Messbarkeit ändert.

Häufig versieht man einen Prozess mit seiner natürlichen Filtrierung

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}:=\sigma (\{X_{s}\,|\,s\leq t\})}$.

Sie ist per Definition die kleinste Filtrierung, bezüglich derer ein gegebener stochastischer Prozess adaptiert ist.

Beziehung zu weiteren Messbarkeitskriterien

Ist ein stochastischer Prozess progressiv messbar oder produktmessbar, so ist er immer auch adaptiert. Dies beruht auf der Aussage, dass eine ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}}$-${\displaystyle {\mathcal {E}}}$-messbare Funktion immer noch messbar bezüglich ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$ ist, wenn man die zweite Variable fixiert. Entsprechend fixiert man bei progressiv messbaren oder produktmessbaren Prozessen einen Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ und erhält, dass ${\displaystyle X_{t}}$ immer ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-${\displaystyle {\mathcal {E}}}$-messbar ist.

Umgekehrt lässt sich zeigen: Ist ein adaptierter stochastischer Prozess linksstetig oder rechtsstetig, so ist er progressiv messbar.

Literatur

• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972. 
• Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8. 
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.