Überdeckungssatz von Vitali

Der Überdeckungssatz von Vitali ist ein Satz der Maßtheorie, eines Teilgebiets der Mathematik, das sich mit der Verallgemeinerung von Längen-, Flächen- und Volumenbegriffen beschäftigt. Der Satz ist ein Hilfsmittel für den Beweis, dass für das Lebesgue-Stieltjes-Maß die Radon-Nikodým-Ableitung (bezüglich des Borel-Maßes) und die gewöhnliche Ableitung übereinstimmen. Der Satz ist nach Giuseppe Vitali benannt, der ihn 1908 bewies.

Rahmenbedingungen

Es bezeichnen ${\displaystyle \lambda }$ das Lebesgue-Maß und ${\displaystyle \eta }$ das äußere Lebesgue-Maß, also das äußere Maß, das von dem Lebesgueschen Prämaß erzeugt wird. Eine Mengenfamilie ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ von offenen, abgeschlossenen oder halboffenen Intervallen ${\displaystyle I}$ mit ${\displaystyle \lambda (I)>0}$ heißt eine Vitali-Überdeckung einer (nicht notwendigerweise messbaren) Menge ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$, wenn für alle ${\displaystyle x\in A}$ und alle ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ein ${\displaystyle I\in {\mathcal {V}}}$ existiert, so dass ${\displaystyle x\in I}$ und ${\displaystyle \lambda (I)<\varepsilon }$.

Aussage

Ist für eine beliebige Menge ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle \eta (A)<\infty }$ eine Vitali-Überdeckung ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ gegeben, so gibt es für jedes ${\displaystyle \varepsilon >0}$ eine endliche Anzahl von disjunkten Intervallen ${\displaystyle I_{1},I_{2},\dots ,I_{n}}$ in ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$, so dass

${\displaystyle \eta \left(A\setminus \bigcup _{i=1}^{n}I_{n}\right)<\varepsilon }$

gilt.

Weblinks

• I.A. Vinogradova: Vitali theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online). 

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.