Trilineare Koordinaten

Trilineare Koordinaten (genauer: homogene trilineare Koordinaten) sind in der Dreiecksgeometrie ein von Julius Plücker eingeführtes Hilfsmittel, um die Lage eines Punktes bezüglich eines Dreiecks zu beschreiben.

Gegeben sei ein Dreieck ABC. Für einen beliebigen Punkt P der Zeichenebene heißen drei reelle Zahlen ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ und ${\displaystyle z}$ (homogene) trilineare Koordinaten von P, wenn es eine von 0 verschiedene reelle Zahl ${\displaystyle r}$ gibt, sodass

${\displaystyle x\,=\,rd_{BC};\quad y\,=\,rd_{CA};\quad z\,=\,rd_{AB}}$

gilt. Dabei bezeichnen ${\displaystyle d_{BC}}$, ${\displaystyle d_{CA}}$ und ${\displaystyle d_{AB}}$ die vorzeichenbehafteten Abstände des Punktes P von den Geraden BC, CA bzw. AB. Die Größe ${\displaystyle d_{BC}}$ erhält positives Vorzeichen, wenn P auf derselben Seite von BC liegt wie die Ecke A, und negatives Vorzeichen, wenn sich P und A auf verschiedenen Seiten von BC befinden. Entsprechend werden die beiden anderen Vorzeichen festgelegt.

Die Gesamtheit der trilinearen Koordinaten eines Punktes wird entweder als geordnetes Tripel ${\displaystyle (x,y,z)}$ geschrieben oder in der Form ${\displaystyle x:y:z}$.

Trilineare Koordinaten sind nicht eindeutig definiert: Multiplikation mit einer beliebigen reellen Zahl ungleich 0 liefert wieder trilineare Koordinaten des gegebenen Punktes.

• Die Ecken A, B und C des gegebenen Dreiecks haben die trilinearen Koordinaten ${\displaystyle (1,0,0)}$, ${\displaystyle (0,1,0)}$ bzw. ${\displaystyle (0,0,1)}$.
• Der Inkreismittelpunkt eines Dreiecks hat die trilinearen Koordinaten ${\displaystyle (1,1,1)}$, da er von allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand hat.
• Für den Schwerpunkt eines Dreiecks lauten die trilinearen Koordinaten gleichwertig ${\displaystyle \left({\frac {1}{a}},\,{\frac {1}{b}},\,{\frac {1}{c}}\right)}$ oder ${\displaystyle \left(bc,\,ca,\,ab\right)}$ oder ${\displaystyle \left(\csc \alpha ,\,\csc \beta ,\,\csc \gamma \right)}$. Dabei stehen ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ für die Seitenlängen, ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$ für die Größen der Innenwinkel und ${\displaystyle \csc }$ für den Cosecans.

Zwischen den trilinearen Koordinaten und den in der Dreiecksgeometrie ebenfalls häufig verwendeten baryzentrischen Koordinaten besteht ein einfacher Zusammenhang: Sind die trilinearen Koordinaten durch ${\displaystyle \left(x,y,z\right)}$ gegeben, so erhält man als baryzentrische Koordinaten ${\displaystyle \left(ax,by,cz\right)}$, wobei ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle c}$ für die Seitenlängen stehen.

Insbesondere sind die realen vorzeichenbehafteten Abstände geeignete Werte für die trilinearen Koordinaten, also ${\displaystyle (d_{BC},d_{CA},d_{AB})}$, man spricht dann von normalisierten trilinearen Koordinaten. Die zugehörigen baryzentrischen Koordinaten ${\displaystyle (a\cdot d_{BC},b\cdot d_{CA},c\cdot d_{AB})}$ genügen der Bedingung (das ist der Fall ${\displaystyle k=1}$ bei Punkt (6) und (7) in ^[1]):

${\displaystyle a\cdot d_{BC}+b\cdot d_{CA}+c\cdot d_{AB}=2\cdot {\text{Fläche}}(\triangle ABC)}$

Sind zwei der drei Abstände bekannt, ist es mithilfe der obigen Formel problemlos möglich, den dritten Wert zu berechnen.

Die bekanntesten Spezialfälle:

• Inkreismittelpunkt, trilinear ${\displaystyle (\rho ,\rho ,\rho )}$: Umfang des Dreiecks * Radius des Inkreises = 2 * Fläche des Dreiecks.

• Eckpunkte, trilinear ${\displaystyle (h_{a},0,0),(0,h_{b},0),(0,0,h_{c})}$: Grundseite * Höhe = 2 * Fläche des Dreiecks.

Trilineare Koordinaten ermöglichen in vielen Fällen die Anwendung algebraischer Methoden in der Dreiecksgeometrie. Beispielsweise sind drei Punkte ${\displaystyle P_{1}}$, ${\displaystyle P_{2}}$ und ${\displaystyle P_{3}}$ mit den trilinearen Koordinaten

${\displaystyle x_{1}:y_{1}:z_{1}}$

${\displaystyle x_{2}:y_{2}:z_{2}}$

${\displaystyle x_{3}:y_{3}:z_{3}}$

genau dann kollinear, wenn die Determinante

${\displaystyle D=\left|{\begin{matrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{matrix}}\right|}$

gleich 0 ist. Die zu diesem Satz duale Aussage ist ebenfalls richtig: Drei Geraden, die durch die Gleichungen

${\displaystyle x_{1}\alpha +y_{1}\beta +z_{1}\gamma =0}$,

${\displaystyle x_{2}\alpha +y_{2}\beta +z_{2}\gamma =0}$,

${\displaystyle x_{3}\alpha +y_{3}\beta +z_{3}\gamma =0}$

gegeben sind, haben genau dann einen gemeinsamen Punkt, wenn ${\displaystyle D=0}$ gilt.

• William Allen Whitworth: Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions. Cambridge, 1866 (Online-Kopie im Internetarchiv)
• Oene Bottema: Topics in Elementary Geometry. Springer, 2008, ISBN 978-0-387-78131-0, S. 25-28

• Eric W. Weisstein: TrilinearCoordinates. In: MathWorld (englisch).

1. ↑ https://mathworld.wolfram.com/TrilinearCoordinates.html