Scheinbare Größe

Mond- und Sonnenscheibe erscheinen gleich groß für Beobachter auf der Erde, die sie unter gleichem Winkel von 0,5° sehen: ihre scheinbare Größe entspricht jeweils dem Sehwinkel. Der Winkel hängt ab von dem Verhältnis des tatsächlichen Durchmessers zur Entfernung des Objekts.[1]

Als scheinbare Größe oder scheinbarer Durchmesser eines Objekts wird in der Astronomie die geometrische Ausdehnung der beobachteten Erscheinung am Himmel bezeichnet. Sie entspricht dem Winkel, unter dem der Umriss eines Gegenstandes den Beobachtenden an ihrem Standpunkt erscheint, dem jeweiligen Gesichtswinkel,[2] auch Sehwinkel[3] genannt. Die Winkelausdehnung hängt von der tatsächlichen Größe des Objekts und dessen Entfernung vom Betrachter ab. Die Abbildung des Gegenstandes auf der Netzhaut (retinales Bild) im Auge wird außerdem durch brechende Medien wie die Augenlinse bestimmt – beziehungsweise durch zusätzliche optische Systeme vor dem Auge, die den Sehwinkel künstlich vergrößern, wie die eines Feldstechers oder eines Teleskops.

Unter ansonsten gleichen Bedingungen erscheinen Objekte gleicher Abmessungen in verschiedener Entfernung unterschiedlich groß.[4] Objekte unterschiedlicher Maße können gleich groß erscheinen, wenn sie unter gleichen Sehwinkeln auf der Netzhaut abgebildet werden. Wie Betrachtende die scheinbare Größe in der Wahrnehmung interpretieren, hängt wesentlich mit ihrer Perspektive und Raumwahrnehmung zusammen.[5]

Abmessung und scheinbare Größe

Die scheinbare Größe lässt sich als Winkel angeben

Nebenstehende Abbildung verdeutlicht den Zusammenhang zwischen scheinbarer Größe α, Entfernung r (Betrachtungsabstand) und den tatsächlichen Abmessungen g eines Objekts. Es lässt sich daraus folgende Beziehung zwischen den drei Größen ableiten:

und somit für den Winkel

In der Geodäsie kann mittels eines Objekts mit genormter Größe, beispielsweise einer senkrecht zur Blickrichtung aufgestellten Basislatte, aus der scheinbaren Größe die Entfernung berechnet werden:

Unterschiede bei den berechneten Ausdehnungen g, g′ und g″ eines unregelmäßigen Objekts abhängig von den gegebenen Abständen r, r′ und r″

In der Astronomie ergibt sich bei bekanntem Abstand eines Objekts dessen ungefähre wahre Ausdehnung quer zur Sichtlinie

Für kleine Winkel < 1° gilt die Kleinwinkelnäherung, im Bogenmaß: , so dass in Winkelminuten gilt:

.

Der Fehler beträgt bei α=1° nur 0,4" (1,7·10−6 rad oder 0,001%), bei α=6'=0,1° nur noch 0,004" (2·10−9 rad oder 0,0001 %).

Für ein sphärisches Objekt, dessen Durchmesser g und der Abstand zum Kugelmittelpunkt r ist, gilt die abweichende Formel , denn in dem Dreieck liegt der rechte Winkel nicht am Mittelpunkt, sondern am Berührpunkt der Tangente. Der Unterschied verschwindet für kleine Winkel.

Vertikaler und horizontaler Sehwinkel

In der Fotografie verwendet man den vertikalen und den horizontalen Sehwinkel eines Gegenstands. Den vertikalen Sehwinkel εv eines Gegenstands definiert man, indem man dem vom Auge fixierten Gegenstand ein waagrecht liegendes Rechteck umschreibt, dann die beiden vom Auge ausgehenden Strahlen zu den Endpunkten der senkrechten Strecke durch den Rechtecksmittelpunkt zieht und den Winkel zwischen diesen Strahlen bestimmt. Analog ist der horizontale Sehwinkel εh der Winkel zwischen den beiden Strahlen vom Auge zu den Endpunkten der waagrechten Strecke durch den Rechtecksmittelpunkt.

Vertikaler und horizontaler Sehwinkel

Wählt man das kartesische Koordinatensystem, dessen Ursprung im Mittelpunkt des Rechtecks liegt, dessen y- und z-Achse die vertikale und horizontale Symmetrieachse des Rechtecks bilden und bei dem sich der Betrachter im Halbraum x > 0 befindet, so lassen sich diese beiden Sehwinkel für das Rechteck mit der vertikalen Seitenlänge Gv = 2γv und der horizontalen Seitenlänge Gh = 2γh für einen beliebigen Beobachterpunkt (x,y,z) trigonometrisch bestimmen:

,
.

Auf Grund der Rotationssymmetrie des Funktionsgraphen des vertikalen Sehwinkels εv(x,y,z) bei der Drehung um die y-Achse (Zylindersymmetrie) kann dessen Untersuchung auf die x,y-Ebene eingeschränkt werden. Für die Sehwinkelfunktionen als Funktionen nur der Ebenenkoordinaten x und y erhält man die folgenden Terme und die in den Abbildungen dargestellten Funktionsgraphen:

,
Graph des vertikalen Sehwinkels
Graph des horizontalen Sehwinkels

Maximale Sehwinkel eines Gegenstandes für eine Kamera

Für die vollständige und scharfe Abbildung eines fest vorgegebenen Objekts mittels einer Kamera ist der Kamerastandort auf einen Zulässigkeitsbereich Z eingeschränkt. Dieser Bereich Z wird durch vier Ungleichungen beschrieben, in welche die Kameraparameter eingehen:

  1. εv(x,y,z) ≤ αv,
  2. εh(x,y,z) ≤ αh,
  3. ρ(x,y,z) = ≥ d = gmin – f,
  4. x > 0,

wobei αv der vertikale Bildwinkel, αh der horizontale Bildwinkel, gmin der minimale Objektabstand und f die fest fixierte Brennweite der Kamera sind.

Bei vollständiger Abbildung des Objekts ist der Sehwinkel des Objekts nicht größer als der Bildwinkel der Kamera.

Sucht man in diesem Bereich Z einen Standort, in dem der vertikale Sehwinkel εv bzw. der horizontale Sehwinkel εh des Objekts für die Kamera maximal ist, so liefert dies jeweils ein nichtlineares Optimierungsproblem, dessen Zielfunktion durch den zu maximierenden Sehwinkel und dessen Zulässigkeitsbereich durch Z gegeben ist. Will man dagegen für eine auf einem Kamerakran montierte Kamera einen Standort finden, in dem sowohl der vertikale als auch der horizontale Sehwinkel maximal sind, so führt dies auf die Lösung des Maximierungsproblems, bei dem beide Sehwinkel als Zielfunktionen simultan maximiert werden („multikriterielle Optimierung“).

Beschränkt man sich bei der simultanen Maximierung beider Sehwinkel εv und εh auf die x,y-Ebene, so wird der Rand des Zulässigkeitsbereichs Z durch zwei der folgenden drei Kreisbögen gebildet:

  1. Kd
    • ,
  2. Kh
    • ,
  3. Kv
    • ,

mit ηh = γh/tan(αh/2), wv = tan αv, xv = γv/wv, rv = γv·(1+wv2)1/2, ξv = xv + rv = γv/tan(αv/2), 0 < αh, αv < π.

Zulässigkeitsbereich Z und Standortverbotszone V der Kamera

Für die Bestimmung des Optimalitätsbereichs Os der simultanen Maximierung beider Sehwinkel εv und εh sind die drei Fälle I) 0 < αv < π/2, II) αv = π/2, III) π/2 < αv < π und dazu jeweils noch die Unterfälle zu unterscheiden, wie der Radius R:= max{d,ηh} zu den anderen beiden Parametern γv und ξv liegt. Im Fall I) mit γv < ξv sind dies die Unterfälle 1) R ≤ γv, 2) γv < R < ξv und 3) R ≥ ξv. Beispielsweise besteht in dem in der Praxis hauptsächlich auftretenden und in der Abbildung dargestellten Fall I.2) der Optimalitätsbereich Os aus den beiden Schnittpunkten S = (x*,y*) und Ŝ = (x*,-y*) der Kreisbögen KR und Kv.

Beispiele

Scheinbare Größe von Sonne, Mond, Planeten und ISS im Vergleich
BeispielBildwinkel in Grad (sortiert nach Maximum)BogenminutenGrößenvergleich (Bild)
Gesamtes Gesichtsfeld des gesunden menschlichen Auges
horizontal
vertikal

214°
130°–150°
Von der Erdoberfläche aus gesehen nimmt ein Regenbogen im Maximum einen Halbkreis ein.
horizontal
vertikal

84°
42°
Regenbogen mit 18-mm-Weitwinkelobjektiv.
Die eigene Faust mit ausgestrecktem Daumen am ausgestreckten Armca. 10° Abschätzen von Winkeln mit der Hand: 10°, 20°, 5°, 1°
Andromedagalaxie (fotografisch)ca. 3°186,2′[6] Fotomontage zum Größenvergleich mit dem Mond
die Breite des eigenen Daumens am ausgestreckten Arm1,5–2°
der Bereich scharfen Sehens beim Menschenca. 1°
Der Durchmesser des Vollmonds oder der Sonnenscheibe von der Erde aus betrachtet.ca. 0,5°ca. 32′ Scheinbare Größe von Sonne und Mond im Vergleich
Der Durchmesser des Landoltrings für einen Visus von 50 %10′
Pferdekopfnebelca. 8′
Kantenlänge des Hubble Ultra Deep Fieldca. 3′
Tennisball in 100 m Entfernungca. 2,5′
Venus in unterer Konjunktion1,1′ Venustransit
Jupiter29,8–50,1″ (Bogensekunden) Größenvergleich zum Mond
Internationale Raumstation0,75′ = 45″[7] Größenvergleich zum Mond
Zum Vergleich: Auflösungsvermögen des bloßen menschlichen Auges unter idealen Bedingungen0,5′ bis 1′
Saturn18,5″ Saturn im Vergleich zum Mond bei einer Okkultation
Mars13,9–24,2″ Größenvergleich zum Mond
Merkur4,5-13,0″ Merkurtransit vor der Sonne
Schwarzes Loch in der Galaxie Messier 8742 ± 3 Mikro-Bogensekunden wie ein Tennisball eines Astronauten auf dem Mond

Siehe auch

  • Scheinriese, literarisches Spiel mit dem Konzept
  • Erzwungene Perspektive, fotografisches Stilmittel, das die menschliche Wahrnehmung von Größe gezielt ausnutzt
  • Strahlensatz
  • Bildwinkel
  • Sichtfeld

Literatur

  • Franz Pleier: Der optimale Standort für einen Fotografen. W-Seminararbeit am Kepler-Gymnasium Weiden/OPf., 2010

Einzelnachweise

  1. Bruce Goldstein: Wahrnehmungspsychologie – Der Grundkurs. 9. Auflage, Springer Verlag Berlin / Heidelberg 2015, S. 244.
  2. Siehe Gesichtswinkel im DWDS.
  3. Siehe Sehwinkel im Duden.
  4. Vergleiche Sehwinkel im DocCheck-Flexikon.
  5. Georg Eisner: Perspektive und Visuelles System – Wege zur Wahrnehmung des Raumes. S. 120.
  6. simbad.u-strasbg.fr
  7. baader-planetarium.de

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Occultation of the planet Saturn by the Moon. Camera: Nikon Coolpix 950 digital camera. Telescope: Vixen R130S, 5.1" Newton Telescope on Super Polaris GEM, 20mm eyepiece. Stacking in Photoshop, animation in ImageReady. The image has south up, and east at right, as it appears in an astronomical telescope.
Moon over Andromeda.jpg
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Spiralgalaxie im Sternbild Andromeda, in Kombination mit einem typischen Blick auf einen beinahe vollständigen Vollmond.
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Scheinbare Größe bei unregelmäßigem Objekt. Das mit Beobachter markierte runde Etwas stellt ein Auge dar.
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Vertikaler und horizontaler Sehwinkel beim Betrachten eines Rechtecks aus einem schrägen Blickwinkel
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Transit of Venus - Venus completely over the sun
Comparison angular diameter.svg
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Comparison of angular diameter of the Sun, Moon and planets with the International Space Station and human visual acuity. To get a true representation of the sizes, view the image at a distance of 102.6 times the width of the largest (Moon: max.) circle. For example, if this circle is 10 cm wide on your monitor, view it from 10.26 m away. Planetary angular diameters are from factsheets at http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/ and Sun/Moon ones are from http://education.gsfc.nasa.gov/eclipse/pages/faq.html
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Wirkung der Veränderung des Sehwinkels durch ein Fernglas auf die Wahrnehmung der Größe [1] und [2] Seite 24
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Took this the next night, composed of three shots again. One of the Moon at 1000mm, one short exposure of Jupiter at 1000mm, and one longer exposure of Jupiter's moons at 1000mm. Used Sigma 50-500mm with APO 2.0x teleconverter to get the length on this like a poor man's telescope. The net effect of combining the shots is to move the two objects closer together and get the levels right for everything, while maintaining the proper visual scale to what it actually looks like from the Earth's surface.
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Scheinbare Größe bei rechteckigem Klotz. Das mit Beobachter markierte runde Etwas stellt ein Auge dar.
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Bei vollständiger Abbildung eines Objekts mit der Kamera ist im Kamerastandort der Sehwinkel des Objekts nicht größer als der Bildwinkel der Kamera
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Doppelregenbogen, Graz, Österreich, 30. Mai 2010
Graph des vertikalen Sehwinkels.png
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Graph des vertikalen Sehwinkels als Funktion von zwei Ebenenkoordinaten
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Das Hubble Ultra Deep Field ist ein Bild einer kleinen Himmelsregion aufgenommen vom Hubble-Weltraumteleskop über einen Zeitraum vom 3. September 2003 bis 16. Januar 2004. Dabei wurde eine Himmelsregion ausgewählt, die kaum störende helle Sterne im Vordergrund enthält. Man entschied sich für ein Zielgebiet südwestlich von Orion im Sternbild Chemischer Ofen (auch Fornax genannt).
Mercury on Sun - Rare Transit.jpg
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Mercury on Sun - Rare Transit
Sun-Moon apparent sizes (min-max quartered).jpg
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Apparent sizes of the Sun and Moon depicted to scale. The Sun is about 400 times the diameter of the Moon. But it is also ~400 times farther away, so their apparent sizes when viewed from Earth are roughly the same. Both appear as roughly half a degree in diameter. With the Earth and Moon being in elliptical orbits, the apparent size varies slightly. The Sun's apparent diameter changes from 31' 36" – 32' 42" (0.5267° - 0.5450°), while the Moon has a little more variation changing from 29' 26" - 33' 30" (0.4905° - 0.5583°). The upper-left half of this diagram depicts the apparent size of the Sun when the Earth is at aphelion (farthest away from the Sun). The upper-right half depicts the Moon at apogee (farthest away from the Earth). The lower halves depicts perihelion and perigee of the Sun and Moon, respectively.

Because there are times when the Moon appears larger than the Sun and other times when the Moon appears smaller than the Sun, this enables two distinctly different types of eclipses to occur: total and annular. During a total eclipse, the Moon will fully block the Sun. During an annular eclipse, a full ring of the Sun is still visible when the Moon is centered directly over the Sun.

This similarity with Earth's two most prominent celestial bodies has been taken to be a cosmic coincidence. Some see this fact to be evidence in support of an anthropic principle pointing to intelligent design. A common scientific attitude is to dismiss this fact as a purely random coincidence. An alternative scientific understanding is a theory that there was a causal relationship with the similarity of apparent sizes with these two bodies in being a favorable factor for the evolution of life on Earth, in that the tidal forces caused by the Moon and Sun in this specific configuration helped to stabilize the climate and environment.
Scheinbare Größe 1.png
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Die scheinbare Größe von Sonne und Mond beruht auf dem Sehwinkel. Da der menschliche Sehsinn bei astronomischen Entfernungen keine Tiefeninformation erhält, kann er die Entfernungen der beiden Himmelskörper nicht einschätzen. Die Verarbeitung der Sinneseindrücke durch das visuelle System kommt zu dem Ergebnis, dass beide in etwa gleich groß sein könnten. Bei einer Sonnenfinsternis verdeckt der Mond die Sonne nahezu vollständig, wobei beide Himmelskörper in etwa gleich groß erscheinen, obwohl ihre Entfernungen und ihre Durchmesser sich jeweils um Zehnerpotenzen unterscheiden.
Graph des horizontalen Sehwinkels.png
Autor/Urheber: FPleier, Lizenz: CC BY-SA 3.0
Graph des horizontalen Sehwinkels als Funktion von zwei Ebenenkoordinaten
ISS over Moon from Houston - JSC2012-E-017827.jpg
The International Space Station can be seen as a small object in the upper left of this image of the moon in the early evening of 4 January 2012 in the sky over the Houston area, flying at an altitude of 390.8 kilometres (242.8 miles). The space station can be seen in the night sky with the naked eye and a pair of binoculars may reveal some detail of the structural shape of the spacecraft. Station sightings in the area will be possible again (weather permitting) on Friday, 6 January, beginning at 6:11 p.m. CST. Viewing should be possible for approximately six minutes as the station moves from 10 degrees above west-northwest to 10 degrees above south-southeast. The maximum elevation will be 44 degrees. To find sighting details by city, visit: http://go.usa.gov/81R. Equipment used by the NASA photographer operating from NASA's Johnson Space Center, was as follows: Nikon D3S, 600mm lens and 2x converter, Heavy Duty Bogen Tripod with sandbag and a trigger cable to minimize camera shake. The camera settings were as follows: 1/1600 @ f/8, ISO 2500 on High Continuous Burst.
Landoltring.jpg
Landoltring
Event Horizon Telescope and Apollo 16.png
Autor/Urheber: Codehydro (Alexander Zhikun He), Lizenz: CC BY-SA 4.0
A series of images representing the magnification achieved by the Event Horizon Telescope to produce its debut image of the supermassive black hole of M87. The top-left image approximates the field of view of the human eye from Earth. Each successive image (moving counter-clockwise) is magnified ~19.3x that of the previous, closing-in on the position of the Lunar Roving Vehicle (LRV) of Apollo 16, and ending at the top-right with the black hole image (which is, coincidentally, at almost exactly one-billion-power magnification relative to the first image).

The second-to-last step is of John Watts Young next to the LRV of Apollo 16 (because I found no useful bird's eye view of the moon at that zoom level) scaled appropriately so that the view is wide enough for about half the wheelbase of the LRV (as calculated for this step). The famous black hole image is artistically superimposed in Young's glove, as though he were holding a tennis-ball sized black hole.

19.3x per step was calculated from dividing the angular diameter of the Moon by that of the ring around M87's supermassive black hole, respectively, 34 arcminutes and 40 microarcseconds[1], and then taking the 6th root of that value (since there are 6 zoom steps after the whole-moon-only step).
Blmurch - Mars and the full moon (by).jpg
Autor/Urheber: Beatrice Murch from Buenos Aires, Argentina, Lizenz: CC BY 2.0
I melded a more exposed Mars with a lesser exposed moon to create this shot. First semi-HDR :D