Planck-Einheiten

Die Planck-Einheiten bilden ein System natürlicher Einheiten für die physikalischen Größen.

Sie werden direkt als Produkte und Quotienten der fundamentalen Naturkonstanten berechnet aus:

Gravitationskonstante $\textstyle G$
Lichtgeschwindigkeit $\textstyle c$
Reduzierte Planck-Konstante $\textstyle \hbar$
Boltzmann-Konstante $\textstyle k_{\mathrm {B} }$
Coulomb-Konstante $k_{\mathrm {C} }={\frac {1}{4\pi \textstyle \varepsilon _{0}}}$ (mit der elektrischen Permittivität des Vakuums $\textstyle \varepsilon _{0}$ ).

In Planck-Einheiten ausgedrückt haben diese Naturkonstanten (oder bestimmte konventionelle Vielfache dieser) daher allesamt den Zahlenwert 1. In diesem Einheitensystem sind dann viele Berechnungen numerisch einfacher. Die Planck-Einheiten sind nach Max Planck benannt, der 1899 bemerkte, dass mit seiner Forschung und Entdeckung des Wirkungsquantums nun genügend fundamentale Naturkonstanten bekannt waren, um universelle Einheiten für Länge, Zeit, Masse und Temperatur zu definieren.

Die Bedeutung der Planck-Einheiten liegt zum einen darin, dass die Planck-Einheiten minimale Grenzen (z. B. für Länge und Zeit) markieren, bis zu denen wir Ursache und Wirkung unterscheiden können. Das heißt, hinter dieser Grenze sind die bisher bekannten physikalischen Gesetze nicht mehr anwendbar, z. B. bei der theoretischen Aufklärung der Vorgänge kurz nach dem Urknall (siehe Planck-Skala).

Zum anderen gilt, wie Planck es ausdrückte, dass die Planck-Einheiten „unabhängig von speziellen Körpern oder Substanzen ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch außerirdische und außermenschliche Kulturen notwendig behalten und […] daher als ‚natürliche Maßeinheiten‘ bezeichnet werden können“,^[1] d. h., unsere Naturgesetze sind bis hinunter zu den Planck-Einheiten universal im Kosmos anwendbar, verständlich und kommunizierbar.

Definitionen

Grundgrößen

Die Planck-Einheiten ergeben sich aus einer einfachen Dimensionsbetrachtung. Sie ergeben sich als mathematische Ausdrücke von der Dimension einer Länge, Zeit bzw. Masse, die nur Produkte und Quotienten geeigneter Potenzen von $G$ , $c$ und $\hbar$ enthalten. Benutzt man zusätzlich die elektrische Permittivität des Vakuums $\varepsilon _{0}$ und die Boltzmann-Konstante $k_{\mathrm {B} }$ , so lassen sich außerdem eine Planck-Ladung und eine Planck-Temperatur als weitere Grundgrößen bestimmen. Die Planck-Ladung erfüllt dabei die Bedingung, dass die Gravitationskraft zwischen zwei Planck-Massen und die elektromagnetische Kraft zwischen zwei Planck-Ladungen gleich stark sind: $m_{\mathrm {P} }^{2}G/\;\!l_{\mathrm {P} }^{2}=q_{\mathrm {P} }^{2}/4\pi \varepsilon _{0}\,l_{\mathrm {P} }^{2}$ .

Name	Größe	Dimension	Term	Wert in SI-Einheiten	in anderen Einheiten
Planck-Länge	Länge	L	$l_{\mathrm {P} }={\sqrt {\frac {\hbar \,G}{c^{3}}}}$	1,616 255(18) · 10⁻³⁵ m^[2]	3,054 · 10⁻²⁵ a₀
Planck-Masse	Masse	M	$m_{\mathrm {P} }={\sqrt {\frac {\hbar \,c}{G}}}$	2,176 434(24) · 10⁻⁸ kg^[3]	1,311 · 10¹⁹ u, 1,221 · 10¹⁹ GeV/c²
Planck-Zeit	Zeit	T	$\!\,t_{\mathrm {P} }={\sqrt {\frac {\hbar \,G}{c^{5}}}}={\frac {l_{\mathrm {P} }}{c}}$	5,391 247(60) · 10⁻⁴⁴ s^[4]
Planck-Temperatur	Temperatur	Θ	$\!\,T_{\mathrm {P} }={\frac {m_{\mathrm {P} }\,c^{2}}{k_{\mathrm {B} }}}$	1,416 784(16) · 10³² K^[5]
Planck-Ladung	Ladung	Q	$q_{\mathrm {P} }={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}\ \hbar \,c}}$	1,875 545 956(41) · 10⁻¹⁸ C	11,71 e

Die Formelzeichen bedeuten:

$c$ = Lichtgeschwindigkeit
$G$ = Gravitationskonstante
$\varepsilon _{0}$ = Elektrische Feldkonstante
$k_{\mathrm {B} }$ = Boltzmann-Konstante
$\hbar$ = reduziertes Plancksches Wirkungsquantum

Statt $\,G$ wird manchmal $\,8\pi G$ zu Eins gesetzt, dann ergibt sich als Masseeinheit die reduzierte Planck-Masse:

{\overline {m_{\mathrm {P} }}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{8\pi G}}}\approx 4{,}340\,\mu \mathrm {g}

.

Mit der Definition einer entsprechend reduzierten Planck-Ladung ${\overline {q_{\mathrm {P} }}}={\sqrt {\frac {\hbar \,c\,\varepsilon _{0}}{2}}}$ bleibt dann die o. g. Gleichheit der Kräfte erhalten.

Abgeleitete Größen

Neben diesen fünf Grundgrößen werden auch folgende abgeleitete Größen verwendet:

Name	Größe	Dimension	Term	Wert in SI-Einheiten
Planck-Fläche	Fläche	L²	$l_{\mathrm {P} }^{2}={\frac {\hbar G}{c^{3}}}$	2,612 · 10⁻⁷⁰ m²
Planck-Volumen	Volumen	L³	$l_{\mathrm {P} }^{3}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}^{\,3}$	4,222 · 10⁻¹⁰⁵ m³
Planck-Energie	Energie	ML²T⁻²	$E_{\mathrm {P} }=m_{\mathrm {P} }c^{2}={\frac {\hbar }{t_{\mathrm {P} }}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}$	1,956 · 10⁹ J = 1,2209 · 10²⁸ eV = 543,4 kWh
Planck-Impuls	Impuls	MLT⁻¹	$m_{\mathrm {P} }c={\frac {\hbar }{l_{\mathrm {P} }}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}$	6,525 kg m·s⁻¹
Planck-Kraft	Kraft	MLT⁻²	$F_{\mathrm {P} }={\frac {E_{\mathrm {P} }}{l_{\mathrm {P} }}}={\frac {\hbar }{l_{\mathrm {P} }t_{\mathrm {P} }}}={\frac {c^{4}}{G}}$	1,210 · 10⁴⁴ N
Planck-Leistung	Leistung	ML²T⁻³	$P_{\mathrm {P} }={\frac {E_{\mathrm {P} }}{t_{\mathrm {P} }}}={\frac {\hbar }{t_{\mathrm {P} }^{2}}}={\frac {c^{5}}{G}}$	3,628 · 10⁵² W
Planck-Dichte	Dichte	ML⁻³	$\rho _{\mathrm {P} }={\frac {m_{\mathrm {P} }}{l_{\mathrm {P} }^{3}}}={\frac {\hbar t_{\mathrm {P} }}{l_{\mathrm {P} }^{5}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}$	5,155 · 10⁹⁶ kg·m⁻³
Planck-Kreisfrequenz	Kreisfrequenz	T⁻¹	$\omega _{\mathrm {P} }={\frac {1}{t_{\mathrm {P} }}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}$	1,855 · 10⁴³ s⁻¹
Planck-Druck (Planck-Energiedichte)	Druck	ML⁻¹T⁻²	$p_{\mathrm {P} }={\frac {F_{\mathrm {P} }}{l_{\mathrm {P} }^{2}}}={\frac {\hbar }{l_{\mathrm {P} }^{3}t_{\mathrm {P} }}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}$	4,633 · 10¹¹³ Pa
Planck-Strom	Elektrischer Strom	QT⁻¹	$I_{\mathrm {P} }={\frac {q_{\mathrm {P} }}{t_{\mathrm {P} }}}={\sqrt {\frac {c^{6}4\pi \varepsilon _{0}}{G}}}$	3,479 · 10²⁵ A
Planck-Spannung	Elektrische Spannung	ML²T⁻²Q⁻¹	$U_{\mathrm {P} }={\frac {E_{\mathrm {P} }}{q_{\mathrm {P} }}}={\frac {\hbar }{t_{\mathrm {P} }q_{\mathrm {P} }}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{G4\pi \varepsilon _{0}}}}$	1,043 · 10²⁷ V
Planck-Impedanz	Widerstand	ML²T⁻¹Q⁻²	$Z_{\mathrm {P} }={\frac {U_{\mathrm {P} }}{I_{\mathrm {P} }}}={\frac {\hbar }{q_{\mathrm {P} }^{2}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}$	29,98 Ω
Planck-Beschleunigung	Beschleunigung	LT⁻²	$g_{\mathrm {P} }={\frac {F_{\mathrm {P} }}{m_{\mathrm {P} }}}={\sqrt {\frac {c^{7}}{\hbar G}}}$	5,56 · 10⁵¹ m·s⁻²
Planck-Magnetfeld	Magnetische Flussdichte	MQ⁻¹T⁻¹	$B_{\mathrm {P} }={\sqrt {{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}p_{\mathrm {P} }}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}4\pi \varepsilon _{0}}}}$	2,1526 · 10⁵³ T
Planck-Magnetischer Fluss	Magnetischer Fluss	ML²T⁻¹Q⁻¹	$\phi _{\mathrm {P} }={\frac {E_{\mathrm {P} }}{I_{\mathrm {P} }}}={\sqrt {\frac {\hbar }{4\pi \varepsilon _{0}c}}}$	5,6227 · 10⁻¹⁷ Wb
Planck-Frequenz	Frequenz	(T⁻¹)	$f_{p}={\frac {c}{2\pi l_{\text{P}}}}={\frac {\omega _{\mathrm {P} }}{2\pi }}$	2,9520989 · 10⁴² Hz

Die Planck-Einheit für den Drehimpuls ergibt sich aus dem Produkt von Planck-Länge und Planck-Impuls zu dem Wert $\hbar$ . Das ist gerade die aus der Quantenmechanik bekannte Einheit der Drehimpulsquantelung.

Die Planck-Fläche $l_{\mathrm {P} }^{2}$ spielt insbesondere in Stringtheorien und bei Überlegungen zur Entropie Schwarzer Löcher in Zusammenhang mit dem holografischen Prinzip eine wichtige Rolle.

Fehlbezeichnung

Die Plancklänge ist eigentlich das Maß des Planckradius, während die Länge eher der Wellenlänge entspricht. Die Planckgrößen basieren auf dem reduzierten Wirkungsquantum ℏ. Größen, die mit der Planckschen Konstante h gebildet werden, sind daher nicht unmittelbar konform. Der Unterschied wird am deutlichsten bei der Energie des Photons

E=fh=\omega \hbar

Daraus ergibt sich auch der Unterschied zwischen Radius und Länge

c=f\lambda =\omega r

Bei der Zeit fällt die Unterscheidung auf den ersten Blick schwerer, man betrachte dazu die Periode T

f=1/T

Die Zeit t ist demgegenüber ein auf den ersten Blick unbestimmter Zeitabschnitt, das liegt daran, dass der Zusatz rad unterschlagen wird.

\omega =1/t=1/(t\cdot rad)

Damit ergibt sich die Lichtgeschwindigkeit mit

c=r/t

Die häufige Verwechslung der Frequenz f mit der reziproken Zeit 1/t ist sicherlich die Folge dieser Fehlbezeichnung des Planckradius.

Geschichte

Ende des 19. Jahrhunderts entdeckte Planck bei seinen Untersuchungen zur Theorie der Strahlung Schwarzer Körper, für die er zwei Jahrzehnte später den Nobelpreis für Physik erhielt, die letzte zur Definition der Planck-Einheiten erforderliche Naturkonstante, das später nach ihm benannte Wirkungsquantum. Er erkannte die Möglichkeit, damit ein universell gültiges System von Einheiten zu definieren und erwähnte diese in einem Vortrag „Über irreversible Strahlungsvorgänge“.^[6] Das folgende Zitat vermittelt einen Eindruck von dem Stellenwert, den Planck diesen Einheiten einräumte^[7]

„… die Möglichkeit gegeben ist, Einheiten [...] aufzustellen, welche, unabhängig von speciellen Körpern oder Substanzen, ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch außerirdische und außermenschliche Culturen nothwendig behalten und welche daher als ‚natürliche Maasseinheiten‘ bezeichnet werden können.“

– Max Planck^[7]

Obwohl Planck diesem Einheitensystem ein Kapitel (§ 159. Natürliche Maßeinheiten)^[8] seines 1906 erschienenen Buches Theorie der Wärmestrahlung widmete und dieses Thema auch später wieder aufgriff, wurde es auch innerhalb der Physik nicht verwendet. Den Nachteilen, dass für die Verwendung in einem Maßsystem der Wert der Gravitationskonstante nicht genau genug bekannt war (und noch ist), und dass praxisrelevante Größen – in seinen Einheiten ausgedrückt – absurde Zahlenwerte hätten, stand kein Vorteil gegenüber, da bis dahin in keiner physikalischen Theorie gleichzeitig das Wirkungsquantum und die Gravitationskonstante auftauchte.

Erst nach ersten Arbeiten zur Vereinigung von Quantentheorie und Gravitation in den späten 1930er Jahren entstand das Anwendungsgebiet der Planck-Einheiten. Als John Archibald Wheeler und Oskar Klein 1955 über die Planck-Länge als Grenze der Anwendbarkeit der Allgemeinen Relativitätstheorie veröffentlichten, war Plancks Vorschlag schon fast vergessen. Nach der „Wiederentdeckung“ der Planckschen Vorschläge für ein solches Maßsystem wurde dann ab 1957 der Name Planck-Einheiten gebräuchlich.

Allerdings unterscheiden sich die üblichen Planck-Einheiten von Plancks ursprünglichen Einheiten, da sich im Zuge der Entwicklung der Quantenmechanik gezeigt hat, dass $\hbar ={\tfrac {h}{2\pi }}$ als Quant des Drehimpulses die fundamentalere natürliche Einheit ist als das von Planck gewählte $h$ .

Heutige Bedeutung

Formuliert man Gleichungen, die die Naturkonstanten $G$ , $c$ und $\hbar$ enthalten, in Planck-Einheiten, so können die Konstanten entfallen. Dies vereinfacht in bestimmten Disziplinen der theoretischen Physik die Gleichungen erheblich, etwa in der allgemeinen Relativitätstheorie, in den Quantenfeldtheorien und in den verschiedenen Ansätzen für eine Quantengravitation.

Die Planck-Einheiten ermöglichen auch eine alternative Sichtweise auf die fundamentalen Kräfte der Natur, deren Stärke im Internationalen Einheitensystem (SI) durch sehr unterschiedliche Kopplungskonstanten beschrieben wird. Bei Verwendung der Planck-Einheiten stellt sich die Situation wie folgt dar: Zwischen zwei Partikeln, die genau die Planckmasse und die Planckladung besitzen, wären die Gravitationskraft und die elektromagnetische Kraft exakt gleich groß. Die unterschiedliche Stärke dieser Kräfte in unserer Welt ist die Folge davon, dass ein Proton bzw. ein Elektron eine Ladung von etwa 0,085 Planckladungen besitzt, während ihre Massen um 19 bzw. 22 Größenordnungen kleiner als die Planckmasse sind. Die Frage: „Warum ist die Gravitation so schwach?“ ist also äquivalent zu der Frage: „Warum haben die Elementarteilchen so geringe Massen?“.

Verschiedene Physiker und Kosmologen befass(t)en sich mit der Frage, ob wir es bemerken könnten, wenn sich dimensionale physikalische Konstanten geringfügig ändern würden, und wie die Welt bei größeren Änderungen aussähe. Solche Spekulationen werden u. a. bei der Lichtgeschwindigkeit $c$ und der Gravitationskonstanten $G$ angestellt, letztere schon seit etwa 1900 in der Expansionstheorie der Erde. Der Atomphysiker George Gamow meint in seinem populärwissenschaftlichen Buch Mr. Tompkins im Wunderland, dass eine Änderung von $c$ deutliche Änderungen zur Folge hätte.

Weblinks

Die Planckeinheiten und deren Interpretation von Jörg Resag.
Alpha Centauri: Was ist die Planck-Welt? auf YouTube, 22. August 2013, abgerufen am 5. April 2022.

Einzelnachweise

↑ Max Planck: Über Irreversible Strahlungsvorgänge. In: Sitzungsbericht der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften, 1899, erster Halbband S. 479–480.
↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 8. Juli 2019. Wert für die Planck-Länge
↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 8. Juli 2019. Wert für die Planck-Masse
↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 8. Juli 2019. Wert für die Planck-Zeit
↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 8. Juli 2019. Wert für die Planck-Temperatur
↑ publiziert in Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften. Band 5, 1899, S. 479.
↑ ^a ^b Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1899, Erster Halbband. (Memento des Originals vom 22. April 2016 im Internet Archive) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2 Verl. d. Kgl. Akad. d. Wiss., Berlin 1899
↑ Max Planck: Theorie der Wärmestrahlung https://archive.org/download/vorlesungenberd04plangoog/vorlesungenberd04plangoog.pdf

[1] Max Planck: Über Irreversible Strahlungsvorgänge. In: Sitzungsbericht der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften, 1899, erster Halbband S. 479–480.

[2] CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 8. Juli 2019. Wert für die Planck-Länge

[3] CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 8. Juli 2019. Wert für die Planck-Masse

[4] CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 8. Juli 2019. Wert für die Planck-Zeit

[5] CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 8. Juli 2019. Wert für die Planck-Temperatur

[6] ubliziert in Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften. Band 5, 1899, S. 479.

[SitzungKPAkWiss1899-7] Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1899, Erster Halbband. (Memento des Originals vom 22. April 2016 im Internet Archive) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2 Verl. d. Kgl. Akad. d. Wiss., Berlin 1899

[8] Max Planck: Theorie der Wärmestrahlung https://archive.org/download/vorlesungenberd04plangoog/vorlesungenberd04plangoog.pdf

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