Diese Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen gibt einen Überblick über die bekanntesten univariaten (eindimensionalen) Wahrscheinlichkeitsverteilungen .
Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschreiben, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Ergebnisse einer Zufallsvariable verteilen. Dabei unterscheidet man zwischen diskreten Verteilungen , die auf einer endlichen oder abzählbaren Menge definiert sind, und stetigen (kontinuierlichen) Verteilungen , die meist auf Intervallen definiert sind.
Diskrete Verteilungen lassen sich durch ihre Zähldichte beschreiben. Diese gibt für jeden der maximal abzählbar vielen Werte x {\displaystyle x} X {\displaystyle X}
Bei stetigen Verteilungen lassen sich die Wahrscheinlichkeiten einzelner Werte nicht angeben, da diese stets die Wahrscheinlichkeit 0 {\displaystyle 0} X {\displaystyle X} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} Dichtefunktion (oder Wahrscheinlichkeitsdichte) f ( x ) {\displaystyle f(x)}
P ( a ≤ X ≤ b ) = ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle P(a\leq X\leq b)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx} Bei den in dieser Liste aufgenommenen stetigen Verteilungen ist eine solche Darstellung über eine Dichtefunktion möglich.
Diskrete Verteilungen Die unten stehenden Tabellen fassen die Kenngrößen Träger , Wahrscheinlichkeitsfunktion , Verteilungsfunktion , Erwartungswert und Varianz der folgenden diskreten Verteilungen zusammen:
Es bezeichne ⌈ . ⌉ {\displaystyle \lceil .\rceil } Aufrundungsfunktion , ⌊ . ⌋ {\displaystyle \lfloor .\rfloor } Abrundungsfunktion und X {\displaystyle X}
Wertebereich der Parameter: n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } k i ∈ R ( i = 1 , … , n ) {\displaystyle k_{i}\in \mathbb {R} \;(i=1,\dots ,n)} Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: { 0 , 1 , … , 20 } {\displaystyle \{0,1,\dots ,20\}} n = 21 {\displaystyle n=21} Träger: { k i : i = 1 , … , n } {\displaystyle \{k_{i}:i=1,\dots ,n\}} Zähldichte: f ( k i ) = 1 n {\displaystyle f(k_{i})={\frac {1}{n}}} Verteilungsfunktion: P ( { X ≤ x } ) = | { i : k i ≤ x } | n {\displaystyle P(\{X\leq x\})={\frac {|\{i:k_{i}\leq x\}|}{n}}} P ( { X < x } ) = | { i : k i < x } | n {\displaystyle P(\{X<x\})={\frac {|\{i:k_{i}<x\}|}{n}}} Erwartungswert: 1 n ∑ i = 1 n k i {\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}} Varianz: 1 n ( ∑ i = 1 n k i 2 − 1 n ( ∑ i = 1 n k i ) 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}^{2}-{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)^{2}\right)}
Wertebereich der Parameter: p ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle p\in [0,1]} Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: p = 0 , 2 {\displaystyle p=0{,}2} p = 0 , 5 {\displaystyle p=0{,}5} p = 0 , 8 {\displaystyle p=0{,}8} Träger: { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} Zähldichte: f ( k ) = { p für k = 1 1 − p für k = 0 {\displaystyle f(k)={\begin{cases}p&{\text{für }}k=1\\1-p&{\text{für }}k=0\end{cases}}} Verteilungsfunktion: P ( { X ≤ x } ) = { 0 für x < 0 1 − p für 0 ≤ x < 1 1 für x ≥ 1 {\displaystyle P(\{X\leq x\})={\begin{cases}0&{\text{für }}x<0\\1-p&{\text{für }}0\leq x<1\\1&{\text{für }}x\geq 1\end{cases}}} P ( { X < x } ) = { 0 für x ≤ 0 1 − p für 0 < x ≤ 1 1 für x > 1 {\displaystyle P(\{X<x\})={\begin{cases}0&{\text{für }}x\leq 0\\1-p&{\text{für }}0<x\leq 1\\1&{\text{für }}x>1\end{cases}}} Erwartungswert: p {\displaystyle p} Varianz: p ( 1 − p ) {\displaystyle p(1-p)}
Wertebereich der Parameter: n ∈ N + {\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}} p ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle p\in [0,1]} Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: n = 20 {\displaystyle n=20} p = 0 , 1 {\displaystyle p=0{,}1} p = 0 , 5 {\displaystyle p=0{,}5} p = 0 , 8 {\displaystyle p=0{,}8} Träger: { 0 , 1 , … , n } {\displaystyle \{0,1,\dots ,n\}} Zähldichte: f ( k ) = ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k {\displaystyle f(k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}} Verteilungsfunktion: P ( { X ≤ x } ) = ∑ i = 0 ⌊ x ⌋ ( n i ) p i ( 1 − p ) n − i {\displaystyle P(\{X\leq x\})=\sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}} P ( { X < x } ) = ∑ i = 0 ⌈ x − 1 ⌉ ( n i ) p i ( 1 − p ) n − i {\displaystyle P(\{X<x\})=\sum _{i=0}^{\lceil x-1\rceil }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}} Erwartungswert: n p {\displaystyle np} Varianz: n p ( 1 − p ) {\displaystyle np(1-p)}
Wertebereich der Parameter: r ∈ N + {\displaystyle r\in \mathbb {N} ^{+}} p ∈ ] 0 , 1 ] {\displaystyle p\in {]0,1]}} Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: r = 10 {\displaystyle r=10} p = 0 , 2 {\displaystyle p=0{,}2} p = 0 , 5 {\displaystyle p=0{,}5} p = 0 , 8 {\displaystyle p=0{,}8} Träger: { x ∈ N : x ≥ r } {\displaystyle \{x\in \mathbb {N} \colon x\geq r\}} Zähldichte: P ( { X = k } ) = ( k − 1 r − 1 ) p r ( 1 − p ) k − r {\displaystyle P(\{X=k\})={{k-1} \choose {r-1}}p^{r}(1-p)^{k-r}} Verteilungsfunktion: P ( { X ≤ x } ) = ∑ i = r ⌊ x ⌋ ( i − 1 r − 1 ) p r ( 1 − p ) i − r {\displaystyle P(\{X\leq x\})=\sum _{i=r}^{\lfloor x\rfloor }{i-1 \choose r-1}p^{r}(1-p)^{i-r}} P ( { X < x } ) = ∑ i = r ⌈ x − 1 ⌉ ( i − 1 r − 1 ) p r ( 1 − p ) i − r {\displaystyle P(\{X<x\})=\sum _{i=r}^{\lceil x-1\rceil }{i-1 \choose r-1}p^{r}(1-p)^{i-r}} Erwartungswert: r p {\displaystyle {\frac {r}{p}}} Varianz: r ( 1 − p ) p 2 {\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p^{2}}}}
Variante A Wertebereich der Parameter: p ∈ ] 0 , 1 [ {\displaystyle p\in {]0,1[}} Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: p = 0 , 2 {\displaystyle p=0{,}2} p = 0 , 5 {\displaystyle p=0{,}5} p = 0 , 8 {\displaystyle p=0{,}8} Träger: N + {\displaystyle \mathbb {N} ^{+}} Zähldichte: f ( k ) = p ( 1 − p ) k − 1 {\displaystyle f(k)=p(1-p)^{k-1}} Verteilungsfunktion: P ( { X ≤ x } ) = 1 − ( 1 − p ) ⌊ x ⌋ {\displaystyle P(\{X\leq x\})=1-(1-p)^{\lfloor x\rfloor }} P ( { X < x } ) = 1 − ( 1 − p ) ⌈ x − 1 ⌉ {\displaystyle P(\{X<x\})=1-(1-p)^{\lceil x-1\rceil }} Erwartungswert: 1 p {\displaystyle {\frac {1}{p}}} Varianz: 1 p 2 − 1 p {\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {1}{p}}}
Variante B Wertebereich der Parameter: p ∈ ] 0 , 1 [ {\displaystyle p\in {]0,1[}} Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: p = 0 , 2 {\displaystyle p=0{,}2} p = 0 , 5 {\displaystyle p=0{,}5} p = 0 , 8 {\displaystyle p=0{,}8} Träger: N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} Zähldichte: f ( k ) = p ( 1 − p ) k {\displaystyle f(k)=p(1-p)^{k}} Verteilungsfunktion: P ( { X ≤ x } ) = 1 − ( 1 − p ) ⌊ x + 1 ⌋ {\displaystyle P(\{X\leq x\})=1-(1-p)^{\lfloor x+1\rfloor }} P ( { X < x } ) = 1 − ( 1 − p ) ⌈ x ⌉ {\displaystyle P(\{X<x\})=1-(1-p)^{\lceil x\rceil }} Erwartungswert: 1 p − 1 {\displaystyle {\frac {1}{p}}-1} Varianz: 1 p 2 − 1 p {\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {1}{p}}}
Wertebereich der Parameter: N ∈ N + {\displaystyle N\in \mathbb {N} ^{+}} M ∈ N + {\displaystyle M\in \mathbb {N} ^{+}} M ≤ N {\displaystyle M\leq N} n ∈ N + {\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}} n ≤ N {\displaystyle n\leq N} Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: n = 20 {\displaystyle n=20} M = 20 , N = 30 {\displaystyle M=20,N=30} M = 50 , N = 60 {\displaystyle M=50,N=60} M = 20 , N = 60 {\displaystyle M=20,N=60} Träger: { max ( 0 , n + M − N ) , … , min ( n , M ) } {\displaystyle \{\max(0,n+M-N),\dotsc ,\min(n,M)\}} Zähldichte: f ( k ) = ( M k ) ( N − M n − k ) ( N n ) {\displaystyle f(k)={\frac {\displaystyle {M \choose k}{N-M \choose n-k}}{\displaystyle {N \choose n}}}} Verteilungsfunktion: P ( { X ≤ x } ) = ∑ i = max ( 0 , n − N ) ⌊ x ⌋ ( M i ) ( N n − i ) ( M + N n ) {\displaystyle P(\{X\leq x\})=\sum _{i=\max(0,n-N)}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {{M \choose i}{N \choose n-i}}{M+N \choose n}}} P ( { X < x } ) = ∑ i = max ( 0 , n − N ) ⌈ x − 1 ⌉ ( M i ) ( N n − i ) ( M + N n ) {\displaystyle P(\{X<x\})=\sum _{i=\max(0,n-N)}^{\lceil x-1\rceil }{\frac {{M \choose i}{N \choose n-i}}{M+N \choose n}}} Erwartungswert: n M N {\displaystyle n{\frac {M}{N}}} Varianz: n M N ( 1 − M N ) N − n N − 1 {\displaystyle n{\frac {M}{N}}\left(1-{\frac {M}{N}}\right){\frac {N-n}{N-1}}}
Wertebereich der Parameter: λ ∈ R + {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{+}} Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: λ = 1 {\displaystyle \lambda =1} λ = 5 {\displaystyle \lambda =5} λ = 10 {\displaystyle \lambda =10} Träger: N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} Zähldichte: f ( k ) = λ k k ! ⋅ e − λ {\displaystyle f(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot \mathrm {e} ^{-\lambda }} Verteilungsfunktion: P ( { X ≤ x } ) = ∑ i = 0 ⌊ x ⌋ λ i i ! e − λ {\displaystyle P(\{X\leq x\})=\sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\;\mathrm {e} ^{-\lambda }} P ( { X < x } ) = ∑ i = 0 ⌈ x − 1 ⌉ λ i i ! e − λ {\displaystyle P(\{X<x\})=\sum _{i=0}^{\lceil x-1\rceil }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\;\mathrm {e} ^{-\lambda }} Erwartungswert: λ {\displaystyle \lambda } Varianz: λ {\displaystyle \lambda }
Wertebereich der Parameter: p ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle p\in (0,1)} Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: p = 0 , 2 {\displaystyle p=0{,}2} p = 0 , 5 {\displaystyle p=0{,}5} p = 0 , 8 {\displaystyle p=0{,}8} Träger: N + {\displaystyle \mathbb {N} ^{+}} Zähldichte: f ( k ) = p k k ⋅ 1 − ln ( 1 − p ) {\displaystyle f(k)={\frac {p^{k}}{k}}\cdot {\frac {1}{-\ln(1-p)}}} Verteilungsfunktion: P ( { X ≤ x } ) = ∑ i = 0 ⌊ x ⌋ p i i ⋅ 1 − ln ( 1 − p ) {\displaystyle P(\{X\leq x\})=\sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {p^{i}}{i}}\cdot {\frac {1}{-\ln(1-p)}}} P ( { X < x } ) = ∑ i = 0 ⌈ x − 1 ⌉ p i i ⋅ 1 − ln ( 1 − p ) {\displaystyle P(\{X<x\})=\sum _{i=0}^{\lceil x-1\rceil }{\frac {p^{i}}{i}}\cdot {\frac {1}{-\ln(1-p)}}} Erwartungswert: p − ( 1 − p ) ln ( 1 − p ) {\displaystyle {\frac {p}{-(1-p)\ln(1-p)}}} Varianz: p ( − ln ( 1 − p ) − p ) ( 1 − p ) 2 ln 2 ( 1 − p ) {\displaystyle {\frac {p(-\ln(1-p)-p)}{(1-p)^{2}\ln ^{2}(1-p)}}}
Stetige Verteilungen Die unten stehenden Tabellen fassen die Kenngrößen Träger , Dichtefunktion , Verteilungsfunktion , Erwartungswert und Varianz der folgenden stetigen Verteilungen zusammen:
Dabei bezeichnen Γ ( r ) {\displaystyle \Gamma (r)} Gammafunktion , B ( p , q ) {\displaystyle B(p,q)} Betafunktion und X {\displaystyle X} f ( x ) {\displaystyle f(x)} F ( x ) {\displaystyle F(x)}
Wertebereich der Parameter: a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } a < b {\displaystyle a<b} Bild der Dichtefunktion: a = 4 , b = 8 {\displaystyle a=4,b=8} a = 1 , b = 18 {\displaystyle a=1,b=18} a = 1 , b = 11 {\displaystyle a=1,b=11} Träger: [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} Dichtefunktion: f ( x ) = { 1 b − a für a < x ≤ b 0 sonst {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{für }}a<x\leq b\\0&{\text{ sonst }}\end{cases}}} Verteilungsfunktion: F ( x ) = { 0 für x ≤ a x − a b − a für a < x ≤ b 1 für x > b {\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{für }}x\leq a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{für }}a<x\leq b\\1&{\text{für }}x>b\end{cases}}} Erwartungswert: a + b 2 {\displaystyle {\frac {a+b}{2}}} Varianz: ( b − a ) 2 12 {\displaystyle {\frac {(b-a)^{2}}{12}}}
Wertebereich der Parameter: a , b , c ∈ R {\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} } a ≤ c ≤ b {\displaystyle a\leq c\leq b} a < b {\displaystyle a<b} Bild der Dichtefunktion: Träger: [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} Dichtefunktion: f ( x ) = { 2 ( x − a ) ( b − a ) ( c − a ) , wenn a ≤ x < c 2 b − a , wenn x = c 2 ( b − x ) ( b − a ) ( b − c ) , wenn c < x ≤ b . {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}},&{\text{wenn }}a\leq x<c\\{\frac {2}{b-a}},&{\text{wenn }}x=c\\{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}},&{\text{wenn }}c<x\leq b.\end{cases}}} Verteilungsfunktion: F ( x ) = { ( x − a ) 2 ( b − a ) ( c − a ) , wenn a ≤ x < c c − a b − a , wenn x = c 1 − ( b − x ) 2 ( b − a ) ( b − c ) , wenn c < x ≤ b . {\displaystyle F(x)={\begin{cases}{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}},&{\text{wenn }}a\leq x<c\\{\frac {c-a}{b-a}},&{\text{wenn }}x=c\\1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}},&{\text{wenn }}c<x\leq b.\end{cases}}} Erwartungswert: E ( X ) = a + b + c 3 . {\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {a+b+c}{3}}.} Varianz: Var ( X ) = ( a − b ) 2 + ( b − c ) 2 + ( a − c ) 2 36 . {\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}}{36}}.}
Wertebereich der Parameter: μ ∈ R {\displaystyle \mu \in \mathbb {R} } σ ∈ R + {\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} ^{+}} Bild der Dichtefunktion: μ = 0 , σ = 1 {\displaystyle \mu =0,\sigma =1} μ = 0 , σ = 2 {\displaystyle \mu =0,\sigma =2} μ = − 1 , σ = 2 {\displaystyle \mu =-1,\sigma =2} Träger: R {\displaystyle \mathbb {R} } Dichtefunktion: f ( x ) = 1 σ 2 π e − 1 2 ( x − μ σ ) 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}} Verteilungsfunktion: F ( x ) = 1 σ 2 π ⋅ ∫ − ∞ x e − 1 2 ⋅ ( t − μ σ ) 2 d t {\displaystyle F(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\cdot \int _{-\infty }^{x}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {t-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\mathrm {d} t} Erwartungswert: μ {\displaystyle \mu } Varianz: σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}
Wertebereich der Parameter: μ ∈ R {\displaystyle \mu \in \mathbb {R} } σ ∈ R + {\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} ^{+}} Bild der Dichtefunktion: μ = 0 , σ = 1 {\displaystyle \mu =0,\sigma =1} μ = 0 , σ = 2 {\displaystyle \mu =0,\sigma =2} μ = − 1 , σ = 2 {\displaystyle \mu =-1,\sigma =2} Träger: R 0 + {\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}} Dichtefunktion: f ( x ) = 1 σ 2 π 1 x e − 1 2 ( ln x − μ σ ) 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,{\frac {1}{x}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\operatorname {ln} \,x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}} Verteilungsfunktion: F ( x ) = { 0 für x ≤ 0 1 σ ⋅ 2 π ⋅ ∫ 0 x 1 t e − 1 2 ⋅ ( ln t − μ σ ) 2 d t für x > 0 {\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{für }}x\leq 0\\{\frac {1}{\sigma \cdot {\sqrt {2\pi }}}}\cdot \int _{0}^{x}\,{\frac {1}{t}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {\operatorname {ln} \,t-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\mathrm {d} t&{\text{für }}x>0\end{cases}}} Erwartungswert: exp ( μ + σ 2 / 2 ) {\displaystyle \exp(\mu +\sigma ^{2}/2)} Varianz: exp ( 2 μ + σ 2 ) ⋅ ( exp ( σ 2 ) − 1 ) {\displaystyle \exp(2\mu +\sigma ^{2})\cdot (\exp(\sigma ^{2})-1)}
Wertebereich der Parameter: α ∈ R + {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ^{+}} Bild der Dichtefunktion: α = 1 {\displaystyle \alpha =1} α = 5 {\displaystyle \alpha =5} α = 10 {\displaystyle \alpha =10} Träger: R 0 + {\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}} Dichtefunktion: f ( x ) = α ⋅ e − α x {\displaystyle f(x)=\alpha \cdot \mathrm {e} ^{-\alpha x}} Verteilungsfunktion: F ( x ) = { 0 für x ≤ 0 1 − e − α x für x > 0 {\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{für }}x\leq 0\\1-\mathrm {e} ^{-\alpha x}&{\text{für }}x>0\end{cases}}} Erwartungswert: 1 α {\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}} Varianz: 1 α 2 {\displaystyle {\frac {1}{\alpha ^{2}}}}
Wertebereich der Parameter: n ∈ N + {\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}} Bild der Dichtefunktion: n = 2 {\displaystyle n=2} n = 5 {\displaystyle n=5} n = 10 {\displaystyle n=10} Träger: R 0 + {\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}} Dichtefunktion: f n ( x ) = 1 2 n 2 Γ ( n 2 ) x n 2 − 1 exp { − x 2 } {\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\tfrac {n}{2}})}}x^{{\frac {n}{2}}-1}\operatorname {exp} \left\{-{\frac {x}{2}}\right\}} Verteilungsfunktion: F ( x ) = { 0 für x ≤ 0 1 − Γ ( n 2 , x 2 ) Γ ( n 2 ) für x > 0 {\displaystyle F(x)={\begin{cases}\displaystyle 0&{\text{für }}x\leq 0\\1-{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}},{\frac {x}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}&{\text{für }}x>0\end{cases}}} Erwartungswert: n {\displaystyle n} Varianz: 2 n {\displaystyle 2n}
Wertebereich der Parameter: k ∈ N + {\displaystyle k\in \mathbb {N} ^{+}} Bild der Dichtefunktion: k = 2 {\displaystyle k=2} k = 5 {\displaystyle k=5} k = 10 {\displaystyle k=10} Träger: R {\displaystyle \mathbb {R} } Dichtefunktion: f ( x ) = Γ ( k + 1 2 ) Γ ( k 2 ) k π ⋅ ( 1 + x 2 k ) − k + 1 2 {\displaystyle f(x)={\frac {\Gamma ({\frac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {k}{2}})\,{\sqrt {k\,\pi \,}}}}\,\cdot \,\left(1+{\frac {x^{2}}{k}}\right)^{-{\frac {k+1}{2}}}} Verteilungsfunktion: F ( x ) = Γ ( k + 1 2 ) Γ ( k 2 ) k π ⋅ ∫ − ∞ x ( 1 + t 2 k ) − k + 1 2 d t {\displaystyle F(x)={\frac {\Gamma ({\frac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {k}{2}})\,{\sqrt {k\,\pi \,}}}}\,\cdot \,\int _{-\infty }^{x}\,\left(1+{\frac {t^{2}}{k}}\right)^{-{\frac {k+1}{2}}}\mathrm {d} t} Erwartungswert: 0 {\displaystyle 0} Varianz: k k − 2 {\displaystyle {\frac {k}{k-2}}}
Wertebereich der Parameter: m ∈ N + {\displaystyle m\in \mathbb {N} ^{+}} n ∈ N + {\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}} Bild der Dichtefunktion: m = 2 , n = 10 {\displaystyle m=2,n=10} m = 10 , n = 10 {\displaystyle m=10,n=10} m = 10 , n = 2 {\displaystyle m=10,n=2} Träger: R 0 + {\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}} Dichtefunktion: f ( x ) = Γ ( m + n 2 ) ( m n ) m 2 Γ ( m 2 ) Γ ( n 2 ) x ( m 2 − 1 ) ( 1 + m n x ) ( − m + n 2 ) {\displaystyle f(x)={\frac {\Gamma ({\frac {m+n}{2}})\,\left({\frac {m}{n}}\right)^{\frac {m}{2}}}{\Gamma ({\frac {m}{2}})\,\Gamma ({\frac {n}{2}})}}x^{({\frac {m}{2}}-1)}\left(1+{\frac {m}{n}}x\right)^{(-{\frac {m+n}{2}})}} Verteilungsfunktion: F ( x ) = { 0 für x ≤ 0 Γ ( m + n 2 ) ( m n ) m 2 Γ ( m 2 ) Γ ( n 2 ) ∫ 0 x t ( m 2 − 1 ) ( 1 + m n t ) ( − m + n 2 ) d t für x > 0 {\displaystyle F(x)={\begin{cases}0\\\quad {\text{für }}x\leq 0\\{\frac {\Gamma ({\frac {m+n}{2}})\,\left({\frac {m}{n}}\right)^{\frac {m}{2}}}{\Gamma ({\frac {m}{2}})\,\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\int _{0}^{x}\,t^{({\frac {m}{2}}-1)}\left(1+{\frac {m}{n}}t\right)^{(-{\frac {m+n}{2}})}\mathrm {d} t\\\quad {\text{für }}x>0\end{cases}}} Erwartungswert: n n − 2 {\displaystyle {\frac {n}{n-2}}} n > 2 {\displaystyle n>2} Varianz: 2 n 2 ( m + n − 2 ) m ( n − 2 ) 2 ( n − 4 ) {\displaystyle {\frac {2n^{2}(m+n-2)}{m(n-2)^{2}(n-4)}}} n > 4 {\displaystyle n>4}
Wertebereich der Parameter: p ∈ R + {\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{+}} b ∈ R + {\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{+}} Bild der Dichtefunktion: p = 0 , 5 , b = 2 {\displaystyle p=0{,}5,b=2} p = 1 , b = 1 {\displaystyle p=1,b=1} p = 2 , b = 1 {\displaystyle p=2,b=1} Träger: R 0 + {\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}} Dichtefunktion: f ( x ) = b p Γ ( p ) x p − 1 e − b x {\displaystyle f(x)={b^{p} \over \Gamma (p)}x^{p-1}\mathrm {e} ^{-bx}} Verteilungsfunktion: F ( x ) = { 0 für x ≤ 0 b p Γ ( p ) ⋅ ∫ 0 x t p − 1 e − b t d t für x > 0 {\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{für }}x\leq 0\\{b^{p} \over \Gamma (p)}\,\cdot \,\int _{0}^{x}\,t^{p-1}\mathrm {e} ^{-bt}\mathrm {d} t&{\text{für }}x>0\end{cases}}} Erwartungswert: p b {\displaystyle {\frac {p}{b}}} Varianz: p b 2 {\displaystyle {\frac {p}{b^{2}}}}
Wertebereich der Parameter: p ∈ R + {\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{+}} q ∈ R + {\displaystyle q\in \mathbb {R} ^{+}} Bild der Dichtefunktion: p = 0 , 5 , q = 2 {\displaystyle p=0{,}5,q=2} p = 2 , q = 2 {\displaystyle p=2,q=2} p = 2 , q = 5 {\displaystyle p=2,q=5} Träger: [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} Dichtefunktion: f ( x ) = 1 B ( p , q ) x p − 1 ( 1 − x ) q − 1 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{B(p,q)}}x^{p-1}(1-x)^{q-1}} Verteilungsfunktion: F ( x ) = { 0 für x < 0 1 B ( p , q ) ∫ 0 x u p − 1 ( 1 − u ) q − 1 d u für 0 ≤ x ≤ 1 1 für x > 1 {\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{für }}x<0\\{{1} \over {B(p,q)}}\int _{0}^{x}u^{p-1}(1-u)^{q-1}\mathrm {d} u&{\text{für }}0\leq x\leq 1\\1&{\text{für }}x>1\end{cases}}} Erwartungswert: p p + q {\displaystyle {\frac {p}{p+q}}} Varianz: p q ( p + q + 1 ) ( p + q ) 2 {\displaystyle {\frac {pq}{(p+q+1)(p+q)^{2}}}}
Wertebereich der Parameter: α ∈ R {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} } β ∈ R + {\displaystyle \beta \in \mathbb {R} ^{+}} Bild der Dichtefunktion: α = 0 , β = 1 {\displaystyle \alpha =0,\beta =1} α = 0 , β = 2 {\displaystyle \alpha =0,\beta =2} α = − 1 , β = 1 {\displaystyle \alpha =-1,\beta =1} Träger: R {\displaystyle \mathbb {R} } Dichtefunktion: f ( x ) = e − x − α β β ( 1 + e − x − α β ) 2 {\displaystyle f(x)={\frac {\mathrm {e} ^{-{\frac {x-\alpha }{\beta }}}}{\beta \left(1+\mathrm {e} ^{-{\frac {x-\alpha }{\beta }}}\right)^{2}}}} Verteilungsfunktion: F ( x ) = 1 1 + e − x − α β {\displaystyle F(x)={\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{-{\frac {x-\alpha }{\beta }}}}}} Erwartungswert: α {\displaystyle \alpha } Varianz: β 2 π 2 3 {\displaystyle {\frac {\beta ^{2}\pi ^{2}}{3}}}
Wertebereich der Parameter: α ∈ R + {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ^{+}} β ∈ R + {\displaystyle \beta \in \mathbb {R} ^{+}} Bild der Dichtefunktion: α = 1 , β = 1 {\displaystyle \alpha =1,\beta =1} α = 1 , β = 2 {\displaystyle \alpha =1,\beta =2} α = 5 , β = 3 {\displaystyle \alpha =5,\beta =3} Träger: R 0 + {\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}} Dichtefunktion: f ( x ) = α β x β − 1 e − α x β {\displaystyle f(x)=\alpha \beta x^{\beta -1}\mathrm {e} ^{-\alpha x^{\beta }}} Verteilungsfunktion: F ( x ) = { 1 − e − α x β für x > 0 0 für x ≤ 0 {\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-\mathrm {e} ^{-\alpha x^{\beta }}&{\text{für }}x>0\\0&{\text{für }}x\leq 0\end{cases}}} Erwartungswert: α − 1 / β ⋅ Γ ( 1 β + 1 ) {\displaystyle \alpha ^{-1/\beta }\cdot \Gamma \left({\frac {1}{\beta }}+1\right)} Varianz: α − 2 / β ⋅ ( Γ ( 2 β + 1 ) − Γ ( 1 β + 1 ) 2 ) {\displaystyle \alpha ^{-2/\beta }\cdot \left(\Gamma \left({\frac {2}{\beta }}+1\right)-\Gamma \left({\frac {1}{\beta }}+1\right)^{2}\right)}
Cauchy-Verteilung (Cauchy-Lorentz-Verteilung, Lorentz-Verteilung)Wertebereich der Parameter: s ∈ R + {\displaystyle s\in \mathbb {R} ^{+}} t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } Bild der Dichtefunktion: s = 1 , t = 0 {\displaystyle s=1,t=0} s = 2 , t = 0 {\displaystyle s=2,t=0} s = 2 , t = − 1 {\displaystyle s=2,t=-1} Träger: R {\displaystyle \mathbb {R} } Dichtefunktion: f ( x ) = 1 π ⋅ s s 2 + ( x − t ) 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {s}{s^{2}+(x-t)^{2}}}} Verteilungsfunktion: F ( x ) = 1 2 + 1 π ⋅ arctan ( x − t s ) {\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\cdot \arctan \left({\frac {x-t}{s}}\right)} Erwartungswert: nicht definiert Varianz: nicht definiert
Wertebereich der Parameter: x min ∈ R + {\displaystyle x_{\min }\in \mathbb {R} ^{+}} k ∈ R + {\displaystyle k\in \mathbb {R} ^{+}} Bild der Dichtefunktion: x min = 1 , k = 1 {\displaystyle x_{\min }=1,k=1} x min = 1 , k = 2 {\displaystyle x_{\min }=1,k=2} x min = 2 , k = 1 {\displaystyle x_{\min }=2,k=1} Träger: [ x min , ∞ ) {\displaystyle [x_{\min },\infty )} Dichtefunktion: f ( x ) = k x min ( x min x ) k + 1 {\displaystyle f(x)={\frac {k}{x_{\min }}}\left({\frac {x_{\min }}{x}}\right)^{k+1}} Verteilungsfunktion: F ( x ) = 1 − ( x min x ) k {\displaystyle F(x)=1-\left({\frac {x_{\min }}{x}}\right)^{k}} Erwartungswert: { x min k k − 1 für k > 1 ∞ für k ≤ 1 {\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle x_{\min }{\frac {k}{k-1}}&{\text{für }}k>1\\\infty &{\text{für }}k\leq 1\end{cases}}} Varianz: { x min 2 k ( k − 2 ) ( k − 1 ) 2 für k > 2 ∞ für k ≤ 2 {\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle x_{\min }^{2}{\frac {k}{(k-2)(k-1)^{2}}}&{\text{für }}k>2\\\infty &{\text{für }}k\leq 2\end{cases}}}
Siehe auch Weblinks Multivariate Verteilungen
Diskrete multivariate Verteilungen: Dirichlet compound multinomial | Ewens | gemischt Multinomial | multinomial | multivariat hypergeometrisch | multivariat Poisson | negativmultinomial | Pólya/Eggenberger | polyhypergeometrisch
Kontinuierliche multivariate Verteilungen: Dirichlet | GEM | generalized Dirichlet | multivariat normal | multivariat Student | normalskaliert invers Gamma | Normal-Gamma | Poisson-Dirichlet
Multivariate Matrixverteilungen: Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart
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