Fortsetzungssatz von Carathéodory

In der Mathematik behandelt der Satz von Carathéodory die Fortsetzbarkeit winkelerhaltender Abbildungen auf den Rand ihres Definitionsbereiches.

Konforme Abbildungen, Riemannscher Abbildungssatz

Eine konforme Abbildung ist per Definition eine Abbildung, die Winkel erhält. Eine Abbildung zwischen zwei Teilmengen der komplexen Ebene ist genau dann konform, wenn sie holomorph oder anti-holomorph ist und die Ableitung nirgends verschwindet.

Der Riemannsche Abbildungssatz besagt, dass es zu jeder einfach zusammenhängenden, offenen, echten Teilmenge einen konformen Homöomorphismus

auf die Einheitskreisscheibe gibt. Er wurde von Riemann 1851 formuliert, aber erst 1912 von Carathéodory bewiesen. Der Riemannsche Abbildungssatz wird unter anderem für die Geometrisierung von Flächen verwendet.

Der Rand der drei Gebiete (gelb, grün oder violett) ist keine Jordan-Kurve, siehe Seen des Wada.

Der Riemannsche Abbildungssatz ist unter anderem deshalb bemerkenswert, weil einfach zusammenhängende, offene Teilmengen der Ebene sehr kompliziert sein können, zum Beispiel kann ihr Rand eine nirgendwo differenzierbare, fraktale Kurve unendlicher Länge oder auch überhaupt keine stetig parametrisierbare Kurve sein.

Im Allgemeinen trifft es nicht zu, dass sich die Riemann-Abbildung zu einer stetigen Abbildung

des Randes auf den Einheitskreis fortsetzen lässt. Der Satz von Carathéodory besagt aber, dass eine solche Fortsetzung dann existiert, wenn der Rand eine Jordan-Kurve, also das Bild einer stetigen, injektiven Abbildung ist. Dies schließt nichtdifferenzierbare, fraktale Kurven mit ein, zum Beispiel die Koch-Kurve.

Satz von Carathéodory

Eine von einer Jordan-Kurve berandete, einfach zusammenhängende, offene Teilmenge der Ebene.

Satz: Es sei eine einfach zusammenhängende, offene Teilmenge der komplexen Ebene, deren Rand eine Jordan-Kurve ist. Dann lässt sich jede konforme Abbildung

stetig zu einem Homöomorphismus des Abschlusses

auf die abgeschlossene Kreisscheibe fortsetzen. Insbesondere ist ein Homöomorphismus

.

Folgerung: Jede konforme Abbildung zwischen zwei von Jordan-Kurven berandeten einfach zusammenhängenden, offenen Teilmengen der Ebene lässt sich zu einem Homöomorphismus fortsetzen.

Umkehrung

Die folgenden Aussagen sind äquivalent für ein beschränktes, einfach zusammenhängendes Gebiet [1]:

  • Jede konforme Abbildung lässt sich zu einem Homöomorphismus fortsetzen.
  • Der Rand von ist eine Jordan-Kurve.
  • Jeder Randpunkt ist einfach, d. h. zu jeder Folge gibt es eine Kurve mit , deren Bild alle enthält.

Aus der Äquivalenz folgt: der Rand eines beschränkten, konvexen Gebietes ist eine Jordan-Kurve.

Höherdimensionale Verallgemeinerungen

Die stetige Fortsetzbarkeit von Abbildungen auf den Rand einer offenen Menge ist ein weitverzweigtes Forschungsthema der Mathematik, siehe zum Beispiel Satz von Korevaar-Schoen oder Cannon-Thurston-Theorie.

Literatur

  • Carathéodory, C.: Über die gegenseitige Beziehung der Ränder bei der konformen Abbildung des Inneren einer Jordanschen Kurve auf einen Kreis. Math. Ann. 73 (1913), no. 2, 305–320.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Novinger, W. P.: An elementary approach to the problem of extending conformal maps to the boundary. Amer. Math. Monthly 82 (1975), 279–282.

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