Finsler-Mannigfaltigkeit

In der Geometrie sind Finsler-Mannigfaltigkeiten eine Verallgemeinerung riemannscher Mannigfaltigkeiten.

Sie sind nach Paul Finsler benannt.

Definition

Eine Finsler-Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer außerhalb des Nullschnitts glatten Funktion so dass für alle gilt:

  • mit Gleichheit nur für
  • für alle
  • .

Hierbei bezeichnet den Tangentialraum der Mannigfaltigkeit im Punkt und das Tangentialbündel von also die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume.

Die Finsler-Mannigfaltigkeit heißt symmetrisch falls für alle gilt.

Beispiele

  • Normierte Vektorräume, wenn die Norm außerhalb des Nullvektors glatt ist.
  • Riemannsche Mannigfaltigkeiten : setze .
  • Konvexe Mengen mit der Hilbert-Metrik : setze für .

Länge und Volumen

Die Länge einer stetig differenzierbaren Kurve ist definiert durch

.

Die Volumenform einer -dimensionalen Finsler-Mannigfaltigkeit ist wie folgt definiert. Sei , eine Basis von , die duale Basis. Sei das euklidische Volumen von . Die Volumenform ist dann gegeben durch

,

wobei das euklidische Volumen der Einheitskugel im bezeichnet. Das Busemann-Volumen einer messbaren Menge ist definiert durch .

Literatur

  • Hanno Rund: Differential Geometry of Finsler Spaces, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer 1959
  • Makoto Matsumoto: Foundations of Finsler Geometry and special Finsler Spaces, Kaiseisha Press, Japan 1986
  • D. Bao, S. S. Chern, Z. Shen: An introduction to Riemann-Finsler geometry. (= Graduate Texts in Mathematics. 200). Springer-Verlag, New York 2000, ISBN 0-387-98948-X.
  • Zhongmin Shen: Lectures on Finsler geometry. World Scientific Publishing, Singapore 2001, ISBN 981-02-4531-9.
  • Peter Antonelli (Hrsg.): Handbook of Finsler Geometry, 2 Bände, Kluwer 2003