Fermat-Zahl

Eine Fermat-Zahl, benannt nach dem französischen Mathematiker Pierre de Fermat, ist eine Zahl der Form

mit einer ganzen Zahl . Die ersten Fermat-Zahlen lauten 3, 5 und 17.

Im August 1640 vermutete Fermat fälschlicherweise, dass alle Zahlen dieser Form (die später nach ihm benannt wurden) Primzahlen seien.[1] Dies wurde jedoch 1732 von Leonhard Euler widerlegt, der zeigte, dass schon die sechste Fermatzahl F5 durch 641 teilbar ist.[2] Man kennt außer den ersten fünf (3, 5, 17, 257, 65537) derzeit keine weitere Fermat-Zahl, die gleichzeitig Primzahl ist, und vermutet, dass es außer diesen fünf Zahlen auch keine weitere gibt (siehe Abschnitt weiter unten).

Fermat-Zahlen

Die ersten Fermat-Zahlen lauten und .[3]

Eine etwas längere Liste bis findet man in der folgenden aufklappbaren Box.

Wegen hat die Fermatzahl doppelt so viele oder um eine weniger als doppelt so viele Stellen wie ihr Vorgänger .

Fermatsche Primzahlen

Die Idee hinter Fermatschen Primzahlen ist der Satz, dass nur für und für mit prim sein kann:

Die Umkehrung dieses Satzes, dass also nicht nur (wegen offensichtlich) , sondern auch jede Fermat-Zahl prim sei, ist falsch. bis sind sogar die einzigen bisher bekannten Fermatschen Primzahlen:

Schon Fermat zeigte, dass diese ersten fünf Fermat-Zahlen Primzahlen sind, und vermutete 1640, dass dies auf alle Fermat-Zahlen zutreffe. Diese Vermutung wurde aber schon 1732 von Leonhard Euler einfach widerlegt, indem er mit 641 einen echten Teiler von F5 = 4.294.967.297 fand.[4]

Man vermutet inzwischen, dass außer den ersten fünf keine weiteren Fermatschen Primzahlen existieren. Diese Vermutung beruht auf statistischen Abschätzungen: Der Primzahlsatz besagt, dass die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als x sind, näherungsweise gleich x / ln x ist. Die Primzahldichte oder Wahrscheinlichkeit dafür, dass Fn als ungerade Zahl eine Primzahl ist, beträgt daher näherungsweise 2 / ln Fn ≈ 3/2n. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Fermatzahl Fn oder eine der folgenden Fermatzahlen eine Primzahl ist, ergibt sich durch Summation der geometrische Reihe ungefähr zu 6/2n.

Für verbliebene weder teilweise noch vollständig faktorisierte Fermat-Zahlen ist diese Wahrscheinlichkeit mit etwa 6 · 10−10 mittlerweile aber sehr klein geworden.

Faktorisierungsergebnisse von Fermat-Zahlen

Die Zahlen F0 bis F4 sind, wie schon Fermat erkannt hat, Primzahlen:

nFermat-Primzahl Fn
003
015
0217
03257
0465537

Die Zahlen F5 bis F11 sind entgegen der Vermutung Fermats zusammengesetzt. Sie sind bereits vollständig faktorisiert:[5]

Ab F12 ist keine Fermat-Zahl mehr vollständig faktorisiert. Die ersten acht lauten:

Von F12 bis F32 und von einigen größeren Fermat-Zahlen ist bekannt, dass sie zusammengesetzt sind – hauptsächlich, weil ein oder mehrere Faktoren gefunden wurden. Von zwei Fermat-Zahlen (F20 und F24) kennt man zwar keinen Faktor, hat aber auf andere Art gezeigt, dass sie zusammengesetzt sind.[7][8]

Für F14 wurde am 3. Februar 2010 ein Faktor veröffentlicht,[9] für F22 am 25. März 2010.[10]

Die kleinste Fermat-Zahl, von der bislang nicht bekannt ist, ob sie prim oder zusammengesetzt ist, ist F33. Diese Zahl hat 2.585.827.973 Stellen. Insgesamt weiß man von den ersten 50 Fermat-Zahlen nur von 10 nicht, ob sie zusammengesetzt sind oder nicht.[11]

F18.233.954 ist die größte Fermat-Zahl, von der ein Faktor bekannt ist, nämlich die Primzahl 7 · 218.233.956 + 1. Dieser Faktor wurde am 5. Oktober 2020 von Ryan Propper mit Computer-Programmen von Geoffrey Reynolds, Jean Penné und Jim Fougeron entdeckt und hat 5.488.969 Stellen. Die Fermat-Zahl F18.233.954 selbst hat allerdings mehr als 105.488.966 Stellen.[12]

Insgesamt weiß man von 324 Fermat-Zahlen, dass sie zusammengesetzt sind. 369 Primfaktoren sind bisher bekannt (Stand: 28. Mai 2024).[5][13]

Der folgenden Tabelle kann man entnehmen, in welchem Intervall wie viele zusammengesetzte Fermat-Zahlen bekannt sind (Stand: 28. Mai 2024):

nachweislich keine Primzahl
nbekannt
zusammengesetzt
Anteil
05 ≤ n ≤ 32028100,0 %
033 ≤ n ≤ 100032047,1 %
101 ≤ n ≤ 500064016,0 %
0501 ≤ n ≤ 1000022004,4 %
1001 ≤ n ≤ 5000053001,3 %
05001 ≤ n ≤ 10000027000,5 %
TOTAL226002,3 %
nachweislich keine Primzahl
nbekannt
zusammengesetzt
Anteil
10001 ≤ n ≤ 50000380,09500 %
050001 ≤ n ≤ 100000110,02200 %
100001 ≤ n ≤ 500000260,00650 %
0500001 ≤ n ≤ 1000000070,00140 %
1000001 ≤ n ≤ 5000000130,00033 %
05000001 ≤ n ≤ 20000000030,00006 %
TOTAL980,00049 %

Die kleinsten 25 Fermat-Primfaktoren sind die folgenden:

3, 5, 17, 257, 641, 65.537, 114.689, 274.177, 319.489, 974.849, 2.424.833, 6.700.417, 13.631.489, 26.017.793, 45.592.577, 63.766.529, 167.772.161, 825.753.601, 1.214.251.009, 6.487.031.809, 70.525.124.609, 190.274.191.361, 646.730.219.521, 2.710.954.639.361, 2.748.779.069.441, … (Folge A023394 in OEIS)

Um von einer Fermat-Zahl nachzuweisen, dass sie zusammengesetzt ist, benutzt man in der Regel den Pépin-Test und den Suyama-Test, die beide besonders auf diese Zahlen zugeschnitten und sehr schnell sind.

Die folgenden 16 Primfaktoren von Fermat-Zahlen wurden vor 1950 entdeckt.

Seit 1950 wurden alle weiteren Faktoren durch Einsatz von Computern gefunden.[14]

Eigenschaften

Beispiele:
Der Teiler 641 von F5: 641 = 5 · 27 + 1 = 5 · 128 + 1
Der Teiler 6700417 von F5: 6700417 = 52347 · 27 + 1 = 52347 · 128 + 1
  • Fermat-Zahlen lassen sich auf folgende Arten rekursiv berechnen:
  •  für 
  •  für 
  •  für 
  •  für 
  • Es gelten folgende Darstellungen von :
  • Jede Fermat-Zahl mit ist von der Form , wobei positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: )[15]
  • Jede Fermat-Zahl mit ist von der Form , wobei positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: )
  • Jede Fermat-Zahl mit ist von der Form , wobei positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: )
  • Jede Fermat-Zahl mit ist von der Form , wobei positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: )
Anders formuliert: Mit Ausnahme von und endet jede Fermat-Zahl im Dezimalsystem mit der Ziffer 7. Die letzten beiden Ziffern sind 17, 37, 57 oder 97.[16]
  • Sei die -te Fermat-Zahl. Dann gilt:
  • hat unendlich viele Darstellungen der Form mit positiv ganzzahlig, für alle [17]
  • hat mindestens eine Darstellung der Form mit positiv ganzzahlig. Ist zusammengesetzt, gibt es mehrere Möglichkeiten dieser Darstellung.[18]
  • kann niemals als Summe von zwei Primzahlen dargestellt werden, für alle [19]
für alle
  • kann niemals als Differenz von zwei p-ten Potenzen geschrieben werden, wenn und p ungerade Primzahlen sind:[20]
für alle
  • Sei die -te Fermat-Zahl und sei die Anzahl der Stellen von . Dann gilt:[21]
wobei mit die Floor-Funktion gemeint ist (also die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich ist)
  • Sei die -te Fermat-Zahl mit . Dann gilt:
ist eine Primzahl genau dann, wenn gilt:
Mit anderen Worten: Für gilt:
Dieser Satz nennt sich Pépin-Test.
  • Für gilt:[22]
  • Sei , und prim. Dann gilt:[22]
  • Sei eine Primzahl und eine ganze Zahl. Dann gilt für jede prime Fermat-Zahl mit :[23]
teilt
  • Sei . Dann gilt:[24]
für alle
  • Sei eine Primzahl. Dann gilt:[25][26]
  • mit einer positiven ganzen Zahl
Beispiele:
Für erhält man
Für erhält man
Für erhält man (eine 20-stellige Zahl)
Für erhält man (eine 617-stellige Zahl)
Für erhält man (eine 315653-stellige Zahl)
Auch für (eine 41373247568-stellige Zahl) und (die Anzahl der Stellen dieser Zahl hat 620 Stellen) erhält man keine Primzahlen. Für alle anderen ist noch nicht bekannt, ob es sich um Primzahlen handelt oder nicht.
Könnte man zeigen, dass es keine weiteren Primzahlen der Form gibt, so wäre gleichzeitig auch bewiesen, dass es unendlich viele zusammengesetzte Fermat-Zahlen gibt.
  • Sei eine Primzahl. Dann gilt:[26]
  • mit einer positiven ganzen Zahl
  • Zwei Fermat-Zahlen sind gleich oder teilerfremd, wie aus der letzten Aussage folgt (Goldbachs Theorem, nach Christian Goldbach, 1730). Daraus lässt sich folgern, dass es unendlich viele Primzahlen gibt (siehe auch Beweisarchiv).
(Folge A051158 in OEIS)
  • Keine Fermat-Zahl ist eine perfekte Zahl. Keine Fermat-Zahl ist Teil eines Paares befreundeter Zahlen (bewiesen von Florian Luca im Jahr 2000).[29]
  • Die Summe der Kehrwerte aller Primteiler von Fermat-Zahlen ist konvergent (bewiesen von Michal Křížek, Florian Luca und Lawrence Somer im Jahr 2002).[30] Mit anderen Worten:
Sei die Menge aller Primzahlen, die irgendeine Fermat-Zahl teilen. Dann gilt:
ist konvergent.
  • Sei der größte Primteiler der Fermat-Zahl . Dann gilt:[31]
für alle  (bewiesen von Aleksander Grytczuk, Florian Luca und Marek Wójtowicz im Jahr 2001).
für mindestens ein (im Speziellen für ).
  • Jede zusammengesetzte Fermat-Zahl ist eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 2. Das heißt, für alle Fermat-Zahlen gilt:
  • Eine prime Fermat-Zahl ist niemals eine Wieferich-Primzahl.[33] Das heißt, für alle primen Fermat-Zahlen gilt:
  • Ein Produkt
von Fermat-Zahlen mit ist eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 2 genau dann, wenn (bewiesen von Michele Cipolla im Jahr 1904).[34]
  • Jede Fermat-Zahl hat im Binärsystem die Form
mit Nullen zwischen den beiden Einsen am Anfang und Ende.[35]
Jede Fermat-Zahl ab hat im Hexadezimalsystem die Form
mit Nullen zwischen den beiden Einsen am Anfang und Ende.

Ungelöste Probleme

  • Ist Fn eine zusammengesetzte Zahl für alle n ≥ 5?
  • Gibt es unendlich viele zusammengesetzte Fermatsche Zahlen? (Diese Behauptung ist etwas schwächer als die vorherige.)
  • Gibt es unendlich viele Fermatsche Primzahlen? (Diese Behauptung steht nicht im Widerspruch zur vorherigen; es könnten beide Behauptungen gelten. Es ist allerdings äußerst unwahrscheinlich, wie der untere Abschnitt zeigt.)
  • Gibt es Fermatsche Zahlen, die nicht quadratfrei sind?

Warum es wahrscheinlich keine weiteren Fermat-Primzahlen gibt

Man kann heuristisch annehmen, dass die letzte (und somit auch die größte) Fermat-Primzahl ist. Die Überlegungen dafür sind die folgenden:

Der Primzahlsatz gibt an, dass eine zufällige ganze Zahl in einem geeigneten Intervall um mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa eine Primzahl ist. Wenn man nun heuristisch davon ausgeht, dass diese Aussage auch für Fermat-Primzahlen gilt, gepaart mit der Tatsache, dass die Fermat-Zahlen alle zusammengesetzt sind, kommt man für größere Fermat-Primzahlen zu folgendem Ergebnis:[36]

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Fermat-Primzahl ist, beträgt höchstens .

Für eine neue, noch unbekannte Fermat-Primzahl muss sein. Somit beträgt die erwartete Anzahl an neuen, noch unbekannten Fermat-Primzahlen höchstens

Die Wahrscheinlichkeit, dass es noch eine weitere Fermat-Primzahl gibt, beträgt also weniger als 1 zu einer Milliarde, weswegen man davon ausgehen kann, dass es wahrscheinlich keine weiteren gibt.

Geometrische Anwendung der Fermatschen Primzahlen

Anzahl der Seiten bekannter konstruierbarer Polygone.
Rot: Seitenzahlen der 31 bekannten regulären Polygone mit ungerader Seitenzahl (Lesart von oben nach unten: Gleichseitiges Dreieck – regelmäßiges Fünfeck – regelmäßiges Fünfzehneck - … – 4294967295-Eck)
Schwarz: Seitenzahlen der (unendlich vielen) bekannten Polygone mit gerader Seitenzahl

Carl Friedrich Gauß zeigte (in seinem Lehrbuch Disquisitiones Arithmeticae), dass es einen Zusammenhang zwischen der Konstruktion von regelmäßigen Polygonen und den Fermatschen Primzahlen gibt:

Ein regelmäßiges Polygon mit n Seiten kann dann und nur dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden, wenn n
  • eine Potenz von 2 oder
  • eine Potenz von 2 multipliziert mit paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist.[37]

Mit anderen Worten:

Ein -seitiges regelmäßiges Polygon kann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden
 mit und paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen

Konkret zeigte Gauß die Konstruierbarkeit des regelmäßigen Siebzehnecks.

Die nach der obigen Formel konstruierbaren regelmäßigen Polygone lassen sich in zwei Gruppen unterteilen: solche mit ungerader Seitenzahl und solche mit gerader Seitenzahl. Alle Polygone, in denen ist, sind offensichtlich solche mit gerader Seitenzahl (durch 2 teilbar). Alle Polygone mit sind solche mit ungerader Seitenzahl (ein Produkt von Primzahlen größer als 2 ist immer eine ungerade Zahl). Da nur endlich viele Fermatsche Primzahlen bekannt sind, ist auch die Anzahl der bekannten, mit Zirkel und Lineal konstruierbaren, regulären Polygone mit ungerader Seitenzahl begrenzt. Unter diesen ist das 4294967295-Eck () dasjenige mit der größten Eckenzahl.

Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen

Eine Zahl der Form mit zwei teilerfremden natürlichen Zahlen a > 0 und b > 0 heißt verallgemeinerte Fermatsche Zahl. Ist eine solche Zahl prim, dann heißt sie verallgemeinerte Fermatsche Primzahl.

Insgesamt sind schon über 11719 Faktoren von verallgemeinerten zusammengesetzten Fermat-Zahlen bekannt (Stand: 13. August 2018).[38][39] Davon wurden alleine über 5100 von Anders Björn und Hans Riesel vor 1998 entdeckt.

Ist a = 1, so werden die so erhaltenen verallgemeinerten Fermatschen Zahlen üblicherweise mit

bezeichnet. Die Zahl b nennt man Basis.

Ist a = 1 und b = 2, so handelt es sich um die schon weiter oben erwähnten Fermat-Zahlen

.

Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen der Form . Die beiden Basen und müssen, damit prim sein kann, teilerfremd sein. Außerdem ist es auch notwendig, dass man durch den größten gemeinsamen Teiler dividiert, da die Zahl bei ungeradem und immer eine gerade Zahl wäre und somit niemals eine Primzahl sein könnte. Weiters kann man ohne Einschränkung annehmen, dass sein muss, da man bei das bedenkenlos mit vertauschen kann und somit zum Beispiel ist. Der Fall führt niemals zu Primzahlen, da dann wäre und sicher nicht prim ist (es wären in diesem Fall auch die beiden Basen und nicht wie vorausgesetzt teilerfremd).

Fast alle verallgemeinerten Fermatschen Zahlen sind wahrscheinlich zusammengesetzt. Bewiesen ist diese Aussage aber nicht, denn schon für und (das sind die ursprünglichen Fermat-Zahlen) wurde weiter oben im Kapitel Ungelöste Probleme erwähnt, dass man noch nicht weiß, ob ab alle weiteren zusammengesetzt sind oder nicht. Ähnlich verhält es sich mit anderen Basen und Hochzahlen. Und obwohl schon über 11000 Faktoren von verallgemeinerten Fermatschen Zahlen bekannt sind (siehe weiter oben), ist es schwierig, solche Faktoren zu finden, zumal sehr schnell sehr groß wird. Zum Teil weiß man zwar, dass diese Zahlen zusammengesetzt sein müssen, aber Primteiler kennt man von den wenigsten. Bekannt ist, dass solche Primteiler die Form haben müssen. Es folgt eine Auflistung von Primfaktoren kleinerer verallgemeinerter Fermatschen Zahlen inklusive zweier etwas höherer Zahlenbeispiele, anhand derer man erkennen kann, wie schnell die Zahlen sehr hoch werden.

Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen der Form Fn(b)

Ist b eine gerade Zahl, so kann Fn(b) sowohl zusammengesetzt als auch prim sein.

Beispiel 1:

b = 8, n = 3 ergibt die zusammengesetzte Zahl
.

Beispiel 2:

b = 6, n = 2 ergibt die Primzahl
.

Beispiel 3:

b = 30, n = 5 ergibt die 48-stellige Primzahl
und ist gleichzeitig die kleinste verallgemeinerte Fermatsche Primzahl mit .

Ist b eine ungerade Zahl, so ist Fn(b) als Summe einer Potenz einer ungeraden Zahl (die selbst wieder ungerade ist) und 1 immer eine gerade Zahl, somit durch 2 teilbar und deshalb für b > 1 keine Primzahl, sondern zusammengesetzt. In diesem Fall wird häufig die Zahl

auf ihre Primalität untersucht. Diese Zahlen werden auch halbe verallgemeinerte Fermatsche Zahlen genannt.

Beispiel 4:

b = 3, n = 2 ergibt die gerade und somit zusammengesetzte Zahl
.
Es ist aber
eine Primzahl.

Beispiel 5:

b = 5, n = 3 ergibt die gerade und somit zusammengesetzte Zahl
Es ist aber
eine zusammengesetzte Zahl.

Liste der Primzahlen der Form Fn(b)

Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen der Form (für gerade ) bzw. der Form (für ungerade ) sind in den meisten Fällen zusammengesetzt. Weil diese Zahlen sehr schnell sehr groß werden, sind nicht besonders viele Primzahlen dieser Art bekannt. Es folgt eine Auflistung von Primzahlen der Form mit konstantem :

Die kleinsten (ab ), für die bzw. erstmals eine Primzahl ergibt, kann man der obigen Tabelle entnehmen, was für alle die folgende Liste ergibt (der Wert −1 bedeutet „nicht existent“ bzw. „noch keine bekannt“):

0, 0, 0, 0, 0, 2, −1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 0, 2, 1, 0, 1, −1, 0, 1, 0, −1, −1, 0, 2, 1, 0, 0, −1, 1, 0, 4, 0, 3, 4, 0, 0, 3, 2, 1, −1, 1, 0, 3, 1, −1, 1, 0, 0, 1, 0, … (Folge A253242 in OEIS)

Mehr Informationen für gerade bis zur Basis findet man im Internet.[40]

Nun folgt eine Auflistung von Primzahlen der Form mit konstantem :

Die kleinsten (mit ), für die erstmals eine Primzahl ergibt, kann man der obigen Tabelle entnehmen, was die folgende Liste ergibt:

2, 2, 2, 2, 2, 30, 102, 120, 278, 46, 824, 150, 1534, 30406, 67234, 70906, 48594, 62722, 24518, 75898, 919444, … (Folge A056993 in OEIS)

Die 10 größten bekannten verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen

Der folgenden Liste kann man die 10 größten bekannten verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen entnehmen. Sämtliche Entdecker dieser Primzahlen sind Teilnehmer des PrimeGrid-Projektes. In der zweiten Spalte steht, die wievieltgrößte bekannte Primzahl diese Fermatsche Primzahl im Moment ist.

Die meisten der oben genannten Ergebnisse konnten natürlich nur mit Hilfe von Computern gefunden werden.

Siehe auch

Literatur

  • Solomon W. Golomb: On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities. In: Canad. J. Math., Vol. 15, 1963, S. 475–478.
  • Florian Luca: The Anti-Social Fermat Number. In: American Mathematical Monthly, Vol. 107, Nr. 2, Februar 2000, S. 171–173.
  • Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: On the Convergence of Series of Reciprocals of Primes Related to the Fermat Numbers. In: Journal of Number Theory, Vol. 97, Nr. 1 (Nov. 2002), S. 95–112.
  • Aleksander Grytczuk, Florian Luca, Marek Wójtowicz: Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers. In: Southeast Asian Bulletin of Mathematics, Vol. 25, Nr. 1 (Juli 2001), S. 111–115.
  • Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry. In: Canad. J. Math., S. 132–138.
  • Fredrick Kennard: Unsolved Problems in Mathematics. Lulu.com, Morrisville (NC) 2015. ISBN 978-1312938113. S. 56.

Einzelnachweise

  1. W. Narkiewicz: The Development of Prime Number Theory – From Euclid to Hardy and Littlewood. Springer-Verlag, 2000, S. 24 (google.at).
  2. Edward Sandifer: How Euler Did It – Factoring F5. MAA Online, März 2007, S. 1–4, abgerufen am 23. März 2022.
  3. Folge A000215 in OEIS.
  4. Leonhard Euler: Observationes de theoremate quodam Fermatiano aliisque ad numeros primos spectantibus. (PDF; 399 kB). [E26]. In: Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 6 (1732/33), St. Petersburg 1738, S. 103–107, hier S. 104. Nachdruck in Opera Omnia, Band 1/2, S. 1–5. Englische Übersetzung von Ian Bruce: Observations concerning a certain theorem of Fermat and other considerations regarding prime numbers. (PDF; 100 kB) bzw. von David Zhao: Oberservations on a certain theorem of Fermat and on others regarding prime numbers. (PDF; 101 kB).
  5. a b Faktorisierungsstatus aller Fermatzahlen. Stand: 29. Juli 2018 (englisch).
  6. Siehe Algorithmus nach Morrison und Brillhart.
  7. Jeff Young, Duncan A. Buell: The Twentieth Fermat Number is Composite. In: Mathematics of Computation. Vol. 50, Nr. 181, Januar 1988, S. 261–263 (ams.org [PDF; abgerufen am 14. August 2016]).
  8. Richard E. Crandall, Ernst W. Mayer, Jason S. Papadopoulos: The Twenty-Fourth Fermat Number is Composite. In: Mathematics of Computation. Band 72, Nr. 243, 6. Dezember 2002, S. 1555–1572 (ams.org [PDF; abgerufen am 14. August 2016]).
  9. GIMPS’ second Fermat factor! MersenneForum.org
  10. F22 factored! MersenneForum.org
  11. When and how Fermat numbers Fm were proven composite (on the occasion of a remarkable discovery)
  12. 7· 218233956 + 1 auf den Primepages.
  13. Luigi Morelli: Distributed Search for Fermat Number Divisors – NEWS. Abgerufen am 19. Dezember 2016.
  14. Luigi Morelli: Distributed Search for Fermat Number Divisors – HISTORY. Abgerufen am 25. Januar 2017.
  15. Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Theorem 3.12. Hrsg.: Canadian Mathematical Society. S. 31 (google.at).
  16. a b Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, vor Remark 3.7. Hrsg.: Canadian Mathematical Society. S. 29 (google.at).
  17. Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Proposition 3.4. Hrsg.: Canadian Mathematical Society. S. 28 (google.at).
  18. a b Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Remark 3.13. Hrsg.: Canadian Mathematical Society. S. 31 (google.at).
  19. Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Proposition 3.8. Hrsg.: Canadian Mathematical Society. S. 29 (google.at).
  20. Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Theorem 3.14. Hrsg.: Canadian Mathematical Society. S. 31 (google.at).
  21. Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Remark 3.7. Hrsg.: Canadian Mathematical Society. S. 29 (google.at).
  22. a b Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Theorem 3.9. Hrsg.: Canadian Mathematical Society. S. 29 (google.at).
  23. Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Theorem 3.11. Hrsg.: Canadian Mathematical Society. S. 30–31 (google.at).
  24. Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Proposition 3.5. Hrsg.: Canadian Mathematical Society. S. 28 (google.at).
  25. Jeppe Stig Nielsen: S(n) = n^n+1. Abgerufen am 9. August 2016.
  26. a b Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers. S. 375, abgerufen am 13. Juni 2019.
  27. Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Theorem 3.10. Hrsg.: Canadian Mathematical Society. S. 30 (google.at).
  28. Solomon W. Golomb: On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities. In: Canad. J. Math. Vol. 15, 1963, S. 475–478 (cms.math.ca (Memento vom 21. März 2016 im Internet Archive) [PDF; abgerufen am 9. August 2016]).
  29. Florian Luca: The Anti-Social Fermat Number. In: The American Mathematical Monthly. Vol. 07, Nr. 2, Februar 2000, S. 171–173, JSTOR:2589441.
  30. Michal Krížek, Florian Luca, Lawrence Somer: On the Convergence of Series of Reciprocals of Primes Related to the Fermat Numbers. In: Journal of Number Theory. Band 97, Nr. 1, November 2002, S. 95–112 (sciencedirect.com [abgerufen am 9. August 2016]).
  31. Aleksander Grytczuk, Florian Luca, Marek Wójtowicz: Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers. In: Southeast Asian Bulletin of Mathematics. Band 25, Nr. 1, Juli 2001, S. 111–115 (researchgate.net [abgerufen am 9. August 2016]).
  32. a b Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Theorem 12.16. Hrsg.: Canadian Mathematical Society. S. 138 (google.at).
  33. Fredrick Kennard: Unsolved Problems in Mathematics. S. 56 (google.at).
  34. Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Theorem 12.1. Hrsg.: Canadian Mathematical Society. S. 132 (google.at).
  35. Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Theorem 3.17. Hrsg.: Canadian Mathematical Society. S. 32 (google.at).
  36. Kent D. Boklan, John H. Conway: Expect at most one billionth of a new Fermat Prime! The Mathematical Intelligencer 39, 3–5 (2017), 9. Mai 2016, S. 1–7, abgerufen am 23. März 2022.
  37. Emil Artin: Galoissche Theorie. Verlag Harri Deutsch, Zürich 1973, ISBN 3-87144-167-8, S. 85.
  38. Faktoren von verallgemeinerten Fermat-Zahlen, die von Björn und Riesel gefunden wurden. Abgerufen am 15. Dezember 2018.
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