Eisensteinreihen (nach dem deutschen Mathematiker Gotthold Eisenstein) sind verschiedene Reihen aus der Theorie der Modulformen bzw. automorphen Formen.
Holomorphe Eisensteinreihen
Eisensteinreihen auf dem Raum der Gitter
Seien zwei komplexe Zahlen mit . Das von und erzeugte Gitter ist
- .
Die Eisensteinreihe vom Gewicht zum Gitter in ist die unendliche Reihe der Form
- .
Diese Reihen sind absolut konvergent für ; für ungerades ist .
Eisensteinreihen auf der oberen Halbebene
Die Untersuchung der Eisensteinreihen lässt sich oBdA auf Gitter der Form mit beschränken, denn für ein Gitter mit Basis gilt stets:
- ,
und da die Basis so gewählt werden kann, dass gilt, kann man die Eisensteinreihen jedes Gitters berechnen, sobald man sie für diejenigen mit Basis kennt. Für letztere schreibt man auch abkürzend:
- .
Man kann die Eisensteinreihe also als eine Funktion auf der oberen Halbebene auffassen.
Eisenstein-Reihen sind holomorph in der oberen Halbebene und in der Spitze ().
Die Eisensteinreihe ist eine Modulform vom Gewicht zur Gruppe , das heißt für mit gilt
Für sind die Polynome mit rationalen Koeffizienten in und , d. h. , es gilt die Rekursionsformel:
Speziell für ergibt sich hieraus und durch einen Koeffizientenvergleich der Fourierentwicklungen (siehe unten) die bemerkenswerte zahlentheoretische Hurwitz-Identität (nach Adolf Hurwitz):
- ,
dabei ist die Teilerfunktion
die Summe der -ten Potenzen der Teiler von . Diese Formel lässt sich aber auch elementar (das heißt nicht funktionentheoretisch) beweisen.
Da in der Spitze für alle gilt, dass , folgt aus der Rekursionsformel, dass für alle gilt:
- [1]
Fourierentwicklung
Die Eisensteinreihen lassen sich in eine Fourierreihe entwickeln:
- ,
dabei ist die Riemannsche Zetafunktion. Eine weitere übliche Darstellung ist die der normierten Eisensteinreihe
Dabei sind die die Bernoulli-Zahlen. Diese Fourierreihe hat ausschließlich rationale Fourierkoeffizienten.
Bezug zu elliptischen Funktionen
Es sei und . Dann erfüllt die Weierstraßsche ℘-Funktion zum Gitter die Differentialgleichung
Umgekehrt gibt es zu jeder elliptischen Kurve über
ein Gitter mit und . Die elliptische Kurve wird dann parametrisiert durch
mit . Insbesondere ist jede elliptische Kurve über homöomorph zu einem Torus .
Literatur
- Eberhard Freitag & Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Aufl., Springer, Berlin (2006), ISBN 3-540-31764-3
- Max Koecher & Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen, 2. Aufl., Springer, Berlin (2007) ISBN 978-3-540-49324-2
Einzelnachweise
- ↑ Freitag, Busam, Funktionentheorie 1, 4. Aufl., S. 319